Analysis Beispiele

$h (x) = {(8 - 5 x)}^{3} - 7 {(8 - 5 x)}^{2} + 3 (8 - 5 x) - 1$

Schritt 1

Schreibe ${(8 - 5 x)}^{2}$ als $(8 - 5 x) (8 - 5 x)$ um.

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 ((8 - 5 x) (8 - 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Schritt 2

Multipliziere $(8 - 5 x) (8 - 5 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (8 (8 - 5 x) - 5 x (8 - 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (8 \cdot 8 + 8 (- 5 x) - 5 x (8 - 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (8 \cdot 8 + 8 (- 5 x) - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 + 8 (- 5 x) - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $8$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 40 x - 5 x (- 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Schritt 3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 x \cdot x) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Schritt 3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 (x \cdot x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Schritt 3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 x^{2}) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 40 x + 25 x^{2}) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Schritt 3.2

Subtrahiere $40 x$ von $- 40 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 80 x + 25 x^{2}) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Schritt 4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 80 x + 25 x^{2}) + 3 (8 - 5 x) - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5

Berechne $\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 8 - 5 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 - 5 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [8 - 5 x] + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [8 - 5 x] + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5.1.3

Ersetze alle $u$ durch $8 - 5 x$ .

$3 {(8 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [8 - 5 x] + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 - 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$3 {(8 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5.3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 {(8 - 5 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(8 - 5 x)}^{2} (0 - 5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 {(8 - 5 x)}^{2} (0 - 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$3 {(8 - 5 x)}^{2} (0 - 5) + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5.7

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$3 {(8 - 5 x)}^{2} \cdot - 5 + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5.8

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 6

Berechne $\frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [64 - 80 x + 25 x^{2}]$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 \frac{d}{d x} [64 - 80 x + 25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 6.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $64 - 80 x + 25 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [64] + \frac{d}{d x} [- 80 x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (\frac{d}{d x} [64] + \frac{d}{d x} [- 80 x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 6.3

Da $64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $64$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 + \frac{d}{d x} [- 80 x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 6.4

Da $- 80$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 80 x$ nach $x$ gleich $- 80 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 - 80 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 6.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 - 80 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 6.6

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25 x^{2}$ nach $x$ gleich $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 - 80 \cdot 1 + 25 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 6.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 - 80 \cdot 1 + 25 (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 6.8

Mutltipliziere $- 80$ mit $1$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 - 80 + 25 (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 6.9

Subtrahiere $80$ von $0$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 25 (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 6.10

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 7

Berechne $\frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 (8 - 5 x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [8 - 5 x]$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 \frac{d}{d x} [8 - 5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 7.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 - 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 7.3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 7.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 (0 - 5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 7.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 (0 - 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 (0 - 5) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 7.7

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 \cdot - 5 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 7.8

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) - 15 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) - 15 + 0$

Schritt 9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 \cdot - 80 - 7 (50 x) - 15 + 0$

Schritt 9.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 80$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} + 560 - 7 (50 x) - 15 + 0$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $50$ mit $- 7$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} + 560 - 350 x - 15 + 0$

Schritt 9.2.3

Subtrahiere $15$ von $560$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 350 x + 545 + 0$

Schritt 9.2.4

Addiere $- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 350 x + 545$ und $0$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 350 x + 545$

Schritt 9.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Schreibe ${(8 - 5 x)}^{2}$ als $(8 - 5 x) (8 - 5 x)$ um.

$- 15 ((8 - 5 x) (8 - 5 x)) - 350 x + 545$

Schritt 9.3.2

Multipliziere $(8 - 5 x) (8 - 5 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 15 (8 (8 - 5 x) - 5 x (8 - 5 x)) - 350 x + 545$

Schritt 9.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 15 (8 \cdot 8 + 8 (- 5 x) - 5 x (8 - 5 x)) - 350 x + 545$

Schritt 9.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 15 (8 \cdot 8 + 8 (- 5 x) - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) - 350 x + 545$

Schritt 9.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.3.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$- 15 (64 + 8 (- 5 x) - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) - 350 x + 545$

Schritt 9.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $8$ .

$- 15 (64 - 40 x - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) - 350 x + 545$

Schritt 9.3.3.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 5$ .

$- 15 (64 - 40 x - 40 x - 5 x (- 5 x)) - 350 x + 545$

Schritt 9.3.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 15 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 x \cdot x) - 350 x + 545$

Schritt 9.3.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$- 15 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 (x \cdot x)) - 350 x + 545$

Schritt 9.3.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 15 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 x^{2}) - 350 x + 545$

Schritt 9.3.3.1.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$- 15 (64 - 40 x - 40 x + 25 x^{2}) - 350 x + 545$

Schritt 9.3.3.2

Subtrahiere $40 x$ von $- 40 x$ .

$- 15 (64 - 80 x + 25 x^{2}) - 350 x + 545$

Schritt 9.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- 15 \cdot 64 - 15 (- 80 x) - 15 (25 x^{2}) - 350 x + 545$

Schritt 9.3.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.5.1

Mutltipliziere $- 15$ mit $64$ .

$- 960 - 15 (- 80 x) - 15 (25 x^{2}) - 350 x + 545$

Schritt 9.3.5.2

Mutltipliziere $- 80$ mit $- 15$ .

$- 960 + 1200 x - 15 (25 x^{2}) - 350 x + 545$

Schritt 9.3.5.3

Mutltipliziere $25$ mit $- 15$ .

$- 960 + 1200 x - 375 x^{2} - 350 x + 545$

Schritt 9.4

Addiere $- 960$ und $545$ .

$1200 x - 375 x^{2} - 350 x - 415$

Schritt 9.5

Subtrahiere $350 x$ von $1200 x$ .

$- 375 x^{2} + 850 x - 415$