Analysis Beispiele

$h (x) = \frac{1}{{(2 x - 3)}^{0.5}} + {(2 x - 3)}^{0.5}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{{(2 x - 3)}^{0.5}} + {(2 x - 3)}^{0.5}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 3)}^{0.5}}] + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 3)}^{0.5}}] + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 3)}^{0.5}}]$ .

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Schritt 2.1

Schreibe $\frac{1}{{(2 x - 3)}^{0.5}}$ als ${({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = {(2 x - 3)}^{0.5}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(2 x - 3)}^{0.5}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}] + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}] + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(2 x - 3)}^{0.5}$ .

$- {({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}] + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{0.5}$ und $g (x) = 2 x - 3$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x - 3$ .

$- {({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{0.5}] \frac{d}{d x} [2 x - 3]) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 0.5$ .

$- {({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 2} (0.5 {u_{2}}^{- 0.5} \frac{d}{d x} [2 x - 3]) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x - 3$ .

$- {({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 2} (0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} \frac{d}{d x} [2 x - 3]) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Schritt 2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- {({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 2} (0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Schritt 2.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 2} (0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- {({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 2} (0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Schritt 2.7

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- {({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 2} (0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Schritt 2.8

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- {(2 x - 3)}^{0.5 \cdot - 2} (0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $0.5$ mit $- 2$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1} (0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1} (0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (2 + 0)) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Schritt 2.10

Addiere $2$ und $0$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1} (0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $2$ mit $0.5$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1} (1 {(2 x - 3)}^{- 0.5}) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Schritt 2.12

Mutltipliziere ${(2 x - 3)}^{- 0.5}$ mit $1$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1} {(2 x - 3)}^{- 0.5} + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Schritt 2.13

Multipliziere ${(2 x - 3)}^{- 1}$ mit ${(2 x - 3)}^{- 0.5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.13.1

Bewege ${(2 x - 3)}^{- 0.5}$ .

$- ({(2 x - 3)}^{- 0.5} {(2 x - 3)}^{- 1}) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Schritt 2.13.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- {(2 x - 3)}^{- 0.5 - 1} + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Schritt 2.13.3

Subtrahiere $1$ von $- 0.5$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$ .

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{0.5}$ und $g (x) = 2 x - 3$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $2 x - 3$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + \frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{0.5}] \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich $n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit $n = 0.5$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + 0.5 {u_{3}}^{- 0.5} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $2 x - 3$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + 0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + 0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + 0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + 0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 3.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + 0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (2 \cdot 1 + 0)$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + 0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (2 + 0)$

Schritt 3.7

Addiere $2$ und $0$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + 0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} \cdot 2$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $2$ mit $0.5$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + 1 {(2 x - 3)}^{- 0.5}$

Schritt 3.9

Mutltipliziere ${(2 x - 3)}^{- 0.5}$ mit $1$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + {(2 x - 3)}^{- 0.5}$

Schritt 4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(2 x - 3)}^{1.5}} + {(2 x - 3)}^{- 0.5}$

Schritt 5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(2 x - 3)}^{1.5}} + \frac{1}{{(2 x - 3)}^{0.5}}$

Schritt 6

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{{(2 x - 3)}^{0.5}} - \frac{1}{{(2 x - 3)}^{1.5}}$