Analysis Beispiele

$h (x) = \arccos (\ln (\sqrt{x}))$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\arccos (\ln (x^{\frac{1}{2}}))]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arccos (x)$ und $g (x) = \ln (x^{\frac{1}{2}})$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\arccos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 11

Mutltipliziere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 (x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})})}$

Schritt 12

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.1

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.1.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}}$

Schritt 13.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}}$

Schritt 13.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}}$

Schritt 13.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}}$

Schritt 13.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$- \frac{1}{2 x^{1} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}}$

Schritt 13.2

Vereinfache $2 x^{1} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}$ .

$- \frac{1}{2 x \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}}$