Analysis Beispiele

$h (x) = 12 x - x^{3} - \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x - x^{3} - \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$12 - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$12 - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{2}}$ neu zu schreiben.

$12 - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Schritt 4.2

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Schritt 4.3

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ als ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ um.

$12 - 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{3}{2}}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Schritt 4.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Schritt 4.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{3}{2}}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Schritt 4.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{\frac{3}{2} \cdot - 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Schritt 4.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Schritt 4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Schritt 4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{3 \cdot - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Schritt 4.6.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Schritt 4.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 4.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 4.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 4.10

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}))$

Schritt 4.10.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 4.11

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{- 3} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 4.12

Kombiniere $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $x^{- 3}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x^{- 3}}{2})$

Schritt 4.13

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{- 3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.13.1

Bewege $x^{- 3}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- \frac{3 (x^{- 3} x^{\frac{1}{2}})}{2})$

Schritt 4.13.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$12 - 3 x^{2} - 3 (- \frac{3 x^{- 3 + \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 4.13.3

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- \frac{3 x^{- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 4.13.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{2}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 4.13.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$12 - 3 x^{2} - 3 (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2 + 1}{2}}}{2})$

Schritt 4.13.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.13.6.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- \frac{3 x^{\frac{- 6 + 1}{2}}}{2})$

Schritt 4.13.6.2

Addiere $- 6$ und $1$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- \frac{3 x^{\frac{- 5}{2}}}{2})$

Schritt 4.13.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$12 - 3 x^{2} - 3 (- \frac{3 x^{- \frac{5}{2}}}{2})$

Schritt 4.14

Bringe $x^{- \frac{5}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$12 - 3 x^{2} + 3 \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 4.16

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$ .

$12 - 3 x^{2} + \frac{3 \cdot 3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 4.17

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$12 - 3 x^{2} + \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 5

Stelle die Terme um.

$- 3 x^{2} + 12 + \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}}$