Analysis Beispiele

$h (x) = \ln (6 x + \sqrt{36 x^{2} - 2})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{36 x^{2} - 2}$ als ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\ln (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{d}{d x} [{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 36 x^{2} - 2$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $36 x^{2} - 2$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $36 x^{2} - 2$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Schritt 9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Schritt 9.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(36 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{{(36 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Schritt 9.3

Bringe ${(36 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Schritt 10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $36 x^{2} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Schritt 11

Da $36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $36 x^{2}$ nach $x$ gleich $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Schritt 12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (36 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Schritt 13

Mutltipliziere $2$ mit $36$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (72 x + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Schritt 14

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (72 x + 0))$

Schritt 15

Vereinfache Terme.

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Schritt 15.1

Addiere $72 x$ und $0$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (72 x))$

Schritt 15.2

Kombiniere $72$ und $\frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{72}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} x)$

Schritt 15.3

Kombiniere $\frac{72}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{72 x}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 15.4

Faktorisiere $2$ aus $72 x$ heraus.

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{2 (36 x)}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 16

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 16.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{2 (36 x)}{2 ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})})$

Schritt 16.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{2 (36 x)}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 16.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}})$ um.

$(6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.2

Mutltipliziere $6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 17.3.1

Mutltipliziere $\frac{6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.3.2

Kombinieren.

$\frac{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}})}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 17.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x) + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 17.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 17.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 + 36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x) + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.6

Faktorisiere $6$ aus ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 + 36 x$ heraus.

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Schritt 17.6.1

Faktorisiere $6$ aus ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6$ heraus.

$\frac{6 \cdot {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.6.2

Faktorisiere $6$ aus $36 x$ heraus.

$\frac{6 \cdot {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 (6 x)}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.6.3

Faktorisiere $6$ aus $6 \cdot {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 (6 x)$ heraus.

$\frac{6 ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 x)}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.7

Faktorisiere ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ aus ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 17.7.1

Bewege ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 x)}{6 x {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.7.2

Faktorisiere ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ aus $6 x {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{6 ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 x)}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x) + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.7.3

Faktorisiere ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ aus ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{6 ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 x)}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x) + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 17.7.4

Faktorisiere ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ aus ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x) + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$\frac{6 ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 x)}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 17.8

Stelle die Terme um.

$\frac{6 (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 17.9

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 17.10

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$