Analysis Beispiele

$h (x) = \cos (\sin (5 x^{3})) - \tan^{3} (x^{2})$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (\sin (5 x^{3})) - \tan^{3} (x^{2})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cos (\sin (5 x^{3}))] + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (\sin (5 x^{3}))] + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos (\sin (5 x^{3}))]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \sin (5 x^{3})$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (5 x^{3})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (5 x^{3})] + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [\sin (5 x^{3})] + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (5 x^{3})$ .

$- \sin (\sin (5 x^{3})) \frac{d}{d x} [\sin (5 x^{3})] + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 5 x^{3}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $5 x^{3}$ .

$- \sin (\sin (5 x^{3})) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$- \sin (\sin (5 x^{3})) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $5 x^{3}$ .

$- \sin (\sin (5 x^{3})) (\cos (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Schritt 2.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{3}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \sin (\sin (5 x^{3})) (\cos (5 x^{3}) (5 \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- \sin (\sin (5 x^{3})) (\cos (5 x^{3}) (5 (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$- \sin (\sin (5 x^{3})) (\cos (5 x^{3}) (15 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $15$ mit $- 1$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \tan^{3} (x^{2})$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x^{2})]$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x^{2})]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \tan (x^{2})$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $\tan (x^{2})$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x^{2})])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich $n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (3 {u_{3}}^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x^{2})])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $\tan (x^{2})$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (3 \tan^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [\tan (x^{2})])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{4}$ durch $x^{2}$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (3 \tan^{2} (x^{2}) (\frac{d}{d u_{4}} [\tan (u_{4})] \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\tan (u_{4})$ nach $u_{4}$ ist $\sec^{2} (u_{4})$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (3 \tan^{2} (x^{2}) (\sec^{2} (u_{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u_{4}$ durch $x^{2}$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (3 \tan^{2} (x^{2}) (\sec^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (3 \tan^{2} (x^{2}) (\sec^{2} (x^{2}) (2 x)))$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (6 \tan^{2} (x^{2}) (\sec^{2} (x^{2}) (x)))$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - 6 \tan^{2} (x^{2}) \sec^{2} (x^{2}) x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - 6 x \sec^{2} (x^{2}) \tan^{2} (x^{2})$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $\sec (x^{2})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - 6 x {(\frac{1}{\cos (x^{2})})}^{2} \tan^{2} (x^{2})$

Schritt 4.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ an.

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - 6 x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2})$

Schritt 4.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - 6 x \frac{1}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2})$

Schritt 4.2.4

Multipliziere $- 6 x \frac{1}{\cos^{2} (x^{2})}$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{\cos^{2} (x^{2})}$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) + x \frac{- 6}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2})$

Schritt 4.2.4.2

Kombiniere $x$ und $\frac{- 6}{\cos^{2} (x^{2})}$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) + \frac{x \cdot - 6}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2})$

Schritt 4.2.5

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) + \frac{- 6 \cdot x}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2})$

Schritt 4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 \cdot x}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2})$

Schritt 4.2.7

Schreibe $\tan (x^{2})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 x}{\cos^{2} (x^{2})} {(\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})})}^{2}$

Schritt 4.2.8

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ an.

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 x}{\cos^{2} (x^{2})} \cdot \frac{\sin^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})}$

Schritt 4.2.9

Multipliziere $- \frac{6 x}{\cos^{2} (x^{2})} \cdot \frac{\sin^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})}$ .

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Schritt 4.2.9.1

Mutltipliziere $\frac{\sin^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})}$ mit $\frac{6 x}{\cos^{2} (x^{2})}$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{\sin^{2} (x^{2}) (6 x)}{\cos^{2} (x^{2}) \cos^{2} (x^{2})}$

Schritt 4.2.9.2

Multipliziere $\cos^{2} (x^{2})$ mit $\cos^{2} (x^{2})$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.9.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{\sin^{2} (x^{2}) (6 x)}{{\cos (x^{2})}^{2 + 2}}$

Schritt 4.2.9.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{\sin^{2} (x^{2}) (6 x)}{\cos^{4} (x^{2})}$

Schritt 4.2.10

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\sin^{2} (x^{2})$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 \sin^{2} (x^{2}) x}{\cos^{4} (x^{2})}$

Schritt 4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere mit $1$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 (\sin^{2} (x^{2}) \cdot 1) x}{\cos^{4} (x^{2})}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $\cos^{2} (x^{2})$ aus $\cos^{4} (x^{2})$ heraus.

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 (\sin^{2} (x^{2}) \cdot 1) x}{\cos^{2} (x^{2}) \cos^{2} (x^{2})}$

Schritt 4.3.3

Separiere Brüche.

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - (\frac{6 \cdot (1) x}{\cos^{2} (x^{2})} \cdot \frac{\sin^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})})$

Schritt 4.3.4

Wandle von $\frac{\sin^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})}$ nach $\tan^{2} (x^{2})$ um.

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - (\frac{6 \cdot (1) x}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2}))$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - (\frac{6 x}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2}))$

Schritt 4.3.6

Kombiniere $\frac{6 x}{\cos^{2} (x^{2})}$ und $\tan^{2} (x^{2})$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 x \tan^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})}$

Schritt 4.3.7

Multipliziere mit $1$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 x \tan^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2}) \cdot 1}$

Schritt 4.3.8

Separiere Brüche.

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - (\frac{6 x}{1} \cdot \frac{\tan^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})})$

Schritt 4.3.9

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (x^{2})}$ nach $\sec^{2} (x^{2})$ um.

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - (\frac{6 x}{1} (\tan^{2} (x^{2}) \sec^{2} (x^{2})))$

Schritt 4.3.10

Dividiere $6 x$ durch $1$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - (6 x (\tan^{2} (x^{2}) \sec^{2} (x^{2})))$

Schritt 4.3.11

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - 6 x (\tan^{2} (x^{2}) \sec^{2} (x^{2}))$

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - 6 x \tan^{2} (x^{2}) \sec^{2} (x^{2})$