Analysis Beispiele

$h (t) = \frac{- 0.05 t^{2}}{2 t + 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d t} [- \frac{0.05 t^{2}}{2 t + 1}]$

Schritt 1.2

Da $- 0.05$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{0.05 t^{2}}{2 t + 1}$ nach $t$ gleich $- 0.05 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2 t + 1}]$ .

$- 0.05 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2 t + 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = 2 t + 1$ .

$- 0.05 \frac{(2 t + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 0.05 \frac{(2 t + 1) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $2 t + 1$ .

$- 0.05 \frac{2 \cdot (2 t + 1) t - t^{2} \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 t + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$- 0.05 \frac{2 (2 t + 1) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 0.05 \frac{2 (2 t + 1) t - t^{2} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 0.05 \frac{2 (2 t + 1) t - t^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 0.05 \frac{2 (2 t + 1) t - t^{2} (2 + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Schritt 3.7

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$- 0.05 \frac{2 (2 t + 1) t - t^{2} (2 + 0)}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Schritt 3.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.8.1

Addiere $2$ und $0$ .

$- 0.05 \frac{2 (2 t + 1) t - t^{2} \cdot 2}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 0.05 \frac{2 (2 t + 1) t - 2 t^{2}}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Schritt 3.8.3

Kombiniere $- 0.05$ und $\frac{2 (2 t + 1) t - 2 t^{2}}{{(2 t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 0.05 (2 (2 t + 1) t - 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Schritt 3.8.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{0.05 (2 (2 t + 1) t - 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{0.05 ((2 (2 t) + 2 \cdot 1) t - 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{0.05 (2 (2 t) t + 2 \cdot 1 t - 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{0.05 (2 (2 t) t) + 0.05 (2 \cdot 1 t) + 0.05 (- 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1.1

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.1.1.1

Bewege $t$ .

$- \frac{0.05 (2 (2 (t \cdot t))) + 0.05 (2 \cdot 1 t) + 0.05 (- 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.1.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$- \frac{0.05 (2 (2 t^{2})) + 0.05 (2 \cdot 1 t) + 0.05 (- 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{0.05 (4 t^{2}) + 0.05 (2 \cdot 1 t) + 0.05 (- 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $0.05$ .

$- \frac{0.2 t^{2} + 0.05 (2 \cdot 1 t) + 0.05 (- 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{0.2 t^{2} + 0.05 (2 t) + 0.05 (- 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $0.05$ .

$- \frac{0.2 t^{2} + 0.1 t + 0.05 (- 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $0.05$ .

$- \frac{0.2 t^{2} + 0.1 t - 0.1 t^{2}}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Subtrahiere $0.1 t^{2}$ von $0.2 t^{2}$ .

$- \frac{0.1 t^{2} + 0.1 t}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $0.1 t$ aus $0.1 t^{2} + 0.1 t$ heraus.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $0.1 t$ aus $0.1 t^{2}$ heraus.

$- \frac{0.1 t (t) + 0.1 t}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere $0.1 t$ aus $0.1 t$ heraus.

$- \frac{0.1 t (t) + 0.1 t (1)}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere $0.1 t$ aus $0.1 t (t) + 0.1 t (1)$ heraus.

$- \frac{0.1 t (t + 1)}{{(2 t + 1)}^{2}}$