Analysis Beispiele

$h (t) = \frac{t^{2}}{t^{2} + t - 2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = t^{2} + t - 2$ .

$\frac{(t^{2} + t - 2) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + t - 2]}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(t^{2} + t - 2) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + t - 2]}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Schritt 2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t^{2} + t - 2$ .

$\frac{2 \cdot (t^{2} + t - 2) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + t - 2]}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} + t - 2$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$\frac{2 (t^{2} + t - 2) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 (t^{2} + t - 2) t - t^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (t^{2} + t - 2) t - t^{2} (2 t + 1 + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Schritt 2.6

Da $- 2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{2 (t^{2} + t - 2) t - t^{2} (2 t + 1 + 0)}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Schritt 2.7

Addiere $2 t + 1$ und $0$ .

$\frac{2 (t^{2} + t - 2) t - t^{2} (2 t + 1)}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 t^{2} + 2 t + 2 \cdot - 2) t - t^{2} (2 t + 1)}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 t^{2} t + 2 t \cdot t + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t + 1)}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 t^{2} t + 2 t \cdot t + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1.1

Multipliziere $t^{2}$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1.1.1

Bewege $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t^{2}) + 2 t \cdot t + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.1.2

Mutltipliziere $t$ mit $t^{2}$ .

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Schritt 3.4.1.1.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{2 (t^{1} t^{2}) + 2 t \cdot t + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 t^{1 + 2} + 2 t \cdot t + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t \cdot t + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1.2.1

Bewege $t$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 (t \cdot t) + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 2 t^{2} t - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.5

Multipliziere $t^{2}$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1.5.1

Bewege $t$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 2 (t \cdot t^{2}) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.5.2

Mutltipliziere $t$ mit $t^{2}$ .

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Schritt 3.4.1.5.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 2 (t^{1} t^{2}) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 2 t^{1 + 2} - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 2 t^{3} - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 2 t^{3} - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 2 t^{3} - t^{2}}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 2 t^{3} - t^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1

Subtrahiere $2 t^{3}$ von $2 t^{3}$ .

$\frac{2 t^{2} - 4 t + 0 - t^{2}}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.2.2

Addiere $2 t^{2} - 4 t$ und $0$ .

$\frac{2 t^{2} - 4 t - t^{2}}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Subtrahiere $t^{2}$ von $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 4 t}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.5

Faktorisiere $t$ aus $t^{2} - 4 t$ heraus.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{2}$ heraus.

$\frac{t \cdot t - 4 t}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $t$ aus $- 4 t$ heraus.

$\frac{t \cdot t + t \cdot - 4}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere $t$ aus $t \cdot t + t \cdot - 4$ heraus.

$\frac{t (t - 4)}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $t^{2} + t - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.6.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $1$ ist.

$- 1, 2$

Schritt 3.6.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{t (t - 4)}{{((t - 1) (t + 2))}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Wende die Produktregel auf $(t - 1) (t + 2)$ an.

$\frac{t (t - 4)}{{(t - 1)}^{2} {(t + 2)}^{2}}$