Analysis Beispiele

$h (t) = {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = {(t + 1)}^{\frac{2}{3}}$ und $g (t) = {(2 t^{2} - 1)}^{3}$ .

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{3}] + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{3}$ und $g (t) = 2 t^{2} - 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 t^{2} - 1$ .

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 t^{2} - 1$ .

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (3 {(2 t^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(t + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3 \cdot {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1] + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 t^{2} - 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$3 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 3.3

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t^{2}$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1]) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} (4 t + \frac{d}{d t} [- 1]) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$3 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} (4 t + 0) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.1

Addiere $4 t$ und $0$ .

$3 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} (4 t) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{\frac{2}{3}}$ und $g (t) = t + 1$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $t + 1$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d t} [t + 1])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $t + 1$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {(t + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {(t + 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {(t + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {(t + 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {(t + 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Schritt 8.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {(t + 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Schritt 9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {(t + 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Schritt 9.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(t + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2 {(t + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Schritt 9.3

Bringe ${(t + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Schritt 9.4

Kombiniere $\frac{2}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ und ${(2 t^{2} - 1)}^{3}$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [t + 1]$

Schritt 10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d t} [1])$

Schritt 12

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0)$

Schritt 13

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.1

Addiere $1$ und $0$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $\frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ mit $1$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 14

Um $12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t \cdot \frac{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15

Kombiniere $12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t$ und $\frac{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t (3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t (3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}) + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 17

Mutltipliziere $3$ mit $12$ .

$\frac{36 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t {(t + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 18

Multipliziere ${(t + 1)}^{\frac{2}{3}}$ mit ${(t + 1)}^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 18.1

Bewege ${(t + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{36 ({(t + 1)}^{\frac{1}{3}} {(t + 1)}^{\frac{2}{3}}) {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 18.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{36 {(t + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 18.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{36 {(t + 1)}^{\frac{1 + 2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 18.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{36 {(t + 1)}^{\frac{3}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 18.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\frac{36 {(t + 1)}^{1} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 19

Vereinfache $36 {(t + 1)}^{1} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t$ .

$\frac{36 (t + 1) {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 20

Vereinfache.

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Schritt 20.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(36 t + 36 \cdot 1) {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 20.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 20.2.1

Faktorisiere ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ aus $(36 t + 36 \cdot 1) {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}$ heraus.

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Schritt 20.2.1.1

Faktorisiere ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ aus $(36 t + 36 \cdot 1) {(2 t^{2} - 1)}^{2} t$ heraus.

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} ((36 t + 36 \cdot 1) t) + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 20.2.1.2

Faktorisiere ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ aus $2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}$ heraus.

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} ((36 t + 36 \cdot 1) t) + {(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (2 t^{2} - 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 20.2.1.3

Faktorisiere ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ aus ${(2 t^{2} - 1)}^{2} ((36 t + 36 \cdot 1) t) + {(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (2 t^{2} - 1))$ heraus.

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} ((36 t + 36 \cdot 1) t + 2 (2 t^{2} - 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 20.2.2

Mutltipliziere $36$ mit $1$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} ((36 t + 36) t + 2 (2 t^{2} - 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 20.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (36 t \cdot t + 36 t + 2 (2 t^{2} - 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 20.2.4

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 20.2.4.1

Bewege $t$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (36 (t \cdot t) + 36 t + 2 (2 t^{2} - 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 20.2.4.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (36 t^{2} + 36 t + 2 (2 t^{2} - 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 20.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (36 t^{2} + 36 t + 2 (2 t^{2}) + 2 \cdot - 1)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 20.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (36 t^{2} + 36 t + 4 t^{2} + 2 \cdot - 1)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 20.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (36 t^{2} + 36 t + 4 t^{2} - 2)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 20.2.8

Addiere $36 t^{2}$ und $4 t^{2}$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (40 t^{2} + 36 t - 2)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 20.2.9

Faktorisiere $2$ aus $40 t^{2} + 36 t - 2$ heraus.

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Schritt 20.2.9.1

Faktorisiere $2$ aus $40 t^{2}$ heraus.

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (20 t^{2}) + 36 t - 2)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 20.2.9.2

Faktorisiere $2$ aus $36 t$ heraus.

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (20 t^{2}) + 2 (18 t) - 2)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 20.2.9.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (20 t^{2}) + 2 (18 t) + 2 (- 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 20.2.9.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (20 t^{2}) + 2 (18 t)$ heraus.

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (20 t^{2} + 18 t) + 2 (- 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 20.2.9.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (20 t^{2} + 18 t) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (20 t^{2} + 18 t - 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} \cdot 2 (20 t^{2} + 18 t - 1)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 20.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ .

$\frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} (20 t^{2} + 18 t - 1)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$