Analysis Beispiele

$h (x) = {(x^{2} + 5)}^{2} (x - 5)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = {(x^{2} + 5)}^{2}$ und $g (x) = x - 5$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5] + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

Schritt 2.3

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere ${(x^{2} + 5)}^{2}$ mit $1$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 5$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 5$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + (x - 5) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + (x - 5) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 5$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + (x - 5) (2 (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 5$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + 2 \cdot (x - 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Schritt 4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + 2 (x - 5) (x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + 2 (x - 5) (x^{2} + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 4.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + 2 (x - 5) (x^{2} + 5) (2 x + 0)$

Schritt 4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + 2 (x - 5) (x^{2} + 5) (2 x)$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + 4 (x - 5) (x^{2} + 5) x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(x^{2} + 5)}^{2} + (4 x + 4 \cdot - 5) (x^{2} + 5) x$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + (4 x - 20) (x^{2} + 5) x$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x^{2} + 5$ aus ${(x^{2} + 5)}^{2} + (4 x - 20) (x^{2} + 5) x$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $x^{2} + 5$ aus ${(x^{2} + 5)}^{2}$ heraus.

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) + (4 x - 20) (x^{2} + 5) x$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $x^{2} + 5$ aus $(4 x - 20) (x^{2} + 5) x$ heraus.

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) + (x^{2} + 5) ((4 x - 20) x)$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $x^{2} + 5$ aus $(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) + (x^{2} + 5) ((4 x - 20) x)$ heraus.

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 + (4 x - 20) x)$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 + 4 x \cdot x - 20 x)$

Schritt 5.4.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.2.1

Bewege $x$ .

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 + 4 (x \cdot x) - 20 x)$

Schritt 5.4.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 + 4 x^{2} - 20 x)$

Schritt 5.5

Addiere $x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$(x^{2} + 5) (5 x^{2} + 5 - 20 x)$

Schritt 5.6

Multipliziere $(x^{2} + 5) (5 x^{2} + 5 - 20 x)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Schritt 5.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.7.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Schritt 5.7.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.7.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$5 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Schritt 5.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Schritt 5.7.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$5 x^{4} + x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Schritt 5.7.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 5 \cdot x^{2} + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Schritt 5.7.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{2} x + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Schritt 5.7.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.7.5.1

Bewege $x$ .

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 (x \cdot x^{2}) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Schritt 5.7.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.7.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 (x^{1} x^{2}) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Schritt 5.7.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{1 + 2} + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Schritt 5.7.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{3} + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Schritt 5.7.6

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{3} + 25 x^{2} + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Schritt 5.7.7

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{3} + 25 x^{2} + 25 + 5 (- 20 x)$

Schritt 5.7.8

Mutltipliziere $- 20$ mit $5$ .

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{3} + 25 x^{2} + 25 - 100 x$

Schritt 5.8

Addiere $5 x^{2}$ und $25 x^{2}$ .

$5 x^{4} - 20 x^{3} + 30 x^{2} + 25 - 100 x$