Analysis Beispiele

$h (x) = {(\sqrt{x + 6})}^{4}$

Schritt 1

Schreibe ${(\sqrt{x + 6})}^{4}$ als ${(x + 6)}^{2}$ um.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 6}$ als ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{4}]$

Schritt 1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 4}]$

Schritt 1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{\frac{4}{2}}]$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}]$

Schritt 1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}]$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}]$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{\frac{2}{1}}]$

Schritt 1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x + 6$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 6$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 6]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x + 6]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 6$ .

$2 (x + 6) \frac{d}{d x} [x + 6]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$2 (x + 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x + 6) (1 + \frac{d}{d x} [6])$

Schritt 3.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (x + 6) (1 + 0)$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$2 (x + 6) \cdot 1$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 (x + 6)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 2 \cdot 6$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$2 x + 12$