Analysis Beispiele

$h (v) = \sqrt{5 v} + \ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{5 v} + \ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}$ nach $v$ $\frac{d}{d v} [\sqrt{5 v}] + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$ .

$\frac{d}{d v} [\sqrt{5 v}] + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d v} [\sqrt{5 v}]$ .

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 v}$ als ${(5 v)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d v} [{(5 v)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$

Schritt 2.2

Faktorisiere $5$ aus $5 v$ heraus.

$\frac{d}{d v} [{(5 (v))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$

Schritt 2.3

Wende die Produktregel auf $5 (v)$ an.

$\frac{d}{d v} [5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$

Schritt 2.4

Da $5^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}}$ nach $v$ gleich $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$ .

$5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ gleich $n v^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$

Schritt 2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$

Schritt 2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$

Schritt 2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$

Schritt 2.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$

Schritt 2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$

Schritt 2.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$5^{\frac{1}{2}} \frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$

Schritt 2.12

Kombiniere $5^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} v^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$

Schritt 2.13

Bringe $v^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d v} [\ln (v^{4}) e^{6 + 9 v}]$ .

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ gleich $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ ist mit $f (v) = \ln (v^{4})$ und $g (v) = e^{6 + 9 v}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) \frac{d}{d v} [e^{6 + 9 v}] + e^{6 + 9 v} \frac{d}{d v} [\ln (v^{4})]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ ist $f' (g (v)) g' (v)$ , mit $f (v) = e^{v}$ und $g (v) = 6 + 9 v$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $6 + 9 v$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d v} [6 + 9 v]) + e^{6 + 9 v} \frac{d}{d v} [\ln (v^{4})]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d v} [6 + 9 v]) + e^{6 + 9 v} \frac{d}{d v} [\ln (v^{4})]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $6 + 9 v$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (e^{6 + 9 v} \frac{d}{d v} [6 + 9 v]) + e^{6 + 9 v} \frac{d}{d v} [\ln (v^{4})]$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 + 9 v$ nach $v$ $\frac{d}{d v} [6] + \frac{d}{d v} [9 v]$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (e^{6 + 9 v} (\frac{d}{d v} [6] + \frac{d}{d v} [9 v])) + e^{6 + 9 v} \frac{d}{d v} [\ln (v^{4})]$

Schritt 3.4

Da $6$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $v$ gleich $0$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (e^{6 + 9 v} (0 + \frac{d}{d v} [9 v])) + e^{6 + 9 v} \frac{d}{d v} [\ln (v^{4})]$

Schritt 3.5

Da $9$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $9 v$ nach $v$ gleich $9 \frac{d}{d v} [v]$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (e^{6 + 9 v} (0 + 9 \frac{d}{d v} [v])) + e^{6 + 9 v} \frac{d}{d v} [\ln (v^{4})]$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ gleich $n v^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (e^{6 + 9 v} (0 + 9 \cdot 1)) + e^{6 + 9 v} \frac{d}{d v} [\ln (v^{4})]$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ ist $f' (g (v)) g' (v)$ , mit $f (v) = \ln (v)$ und $g (v) = v^{4}$ .

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Schritt 3.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $v^{4}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (e^{6 + 9 v} (0 + 9 \cdot 1)) + e^{6 + 9 v} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d v} [v^{4}])$

Schritt 3.7.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (e^{6 + 9 v} (0 + 9 \cdot 1)) + e^{6 + 9 v} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d v} [v^{4}])$

Schritt 3.7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $v^{4}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (e^{6 + 9 v} (0 + 9 \cdot 1)) + e^{6 + 9 v} (\frac{1}{v^{4}} \frac{d}{d v} [v^{4}])$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ gleich $n v^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (e^{6 + 9 v} (0 + 9 \cdot 1)) + e^{6 + 9 v} (\frac{1}{v^{4}} (4 v^{3}))$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (e^{6 + 9 v} (0 + 9)) + e^{6 + 9 v} (\frac{1}{v^{4}} (4 v^{3}))$

Schritt 3.10

Addiere $0$ und $9$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (e^{6 + 9 v} \cdot 9) + e^{6 + 9 v} (\frac{1}{v^{4}} (4 v^{3}))$

Schritt 3.11

Bringe $9$ auf die linke Seite von $e^{6 + 9 v}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (9 \cdot e^{6 + 9 v}) + e^{6 + 9 v} (\frac{1}{v^{4}} (4 v^{3}))$

Schritt 3.12

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{v^{4}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (9 e^{6 + 9 v}) + e^{6 + 9 v} (\frac{4}{v^{4}} v^{3})$

Schritt 3.13

Kombiniere $\frac{4}{v^{4}}$ und $v^{3}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (9 e^{6 + 9 v}) + e^{6 + 9 v} \frac{4 v^{3}}{v^{4}}$

Schritt 3.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $v^{3}$ und $v^{4}$ .

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Schritt 3.14.1

Faktorisiere $v^{3}$ aus $4 v^{3}$ heraus.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (9 e^{6 + 9 v}) + e^{6 + 9 v} \frac{v^{3} \cdot 4}{v^{4}}$

Schritt 3.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.14.2.1

Faktorisiere $v^{3}$ aus $v^{4}$ heraus.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (9 e^{6 + 9 v}) + e^{6 + 9 v} \frac{v^{3} \cdot 4}{v^{3} v}$

Schritt 3.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (9 e^{6 + 9 v}) + e^{6 + 9 v} \frac{v^{3} \cdot 4}{v^{3} v}$

Schritt 3.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (9 e^{6 + 9 v}) + e^{6 + 9 v} \frac{4}{v}$

Schritt 3.15

Kombiniere $e^{6 + 9 v}$ und $\frac{4}{v}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (9 e^{6 + 9 v}) + \frac{e^{6 + 9 v} \cdot 4}{v}$

Schritt 3.16

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{6 + 9 v}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \ln (v^{4}) (9 e^{6 + 9 v}) + \frac{4 \cdot e^{6 + 9 v}}{v}$

Schritt 3.17

Um $\ln (v^{4}) (9 e^{6 + 9 v})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{v}{v}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (v^{4}) (9 e^{6 + 9 v}) v}{v} + \frac{4 e^{6 + 9 v}}{v}$

Schritt 3.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (v^{4}) (9 e^{6 + 9 v}) v + 4 e^{6 + 9 v}}{v}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$\frac{\ln (v^{4}) (9 e^{6 + 9 v}) v + 4 e^{6 + 9 v}}{v} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $e^{6 + 9 v}$ aus $\ln (v^{4}) (9 e^{6 + 9 v}) v + 4 e^{6 + 9 v}$ heraus.

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Schritt 4.2.1.1

Faktorisiere $e^{6 + 9 v}$ aus $\ln (v^{4}) (9 e^{6 + 9 v}) v$ heraus.

$\frac{e^{6 + 9 v} (\ln (v^{4}) \cdot (9) v) + 4 e^{6 + 9 v}}{v} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2.1.2

Faktorisiere $e^{6 + 9 v}$ aus $4 e^{6 + 9 v}$ heraus.

$\frac{e^{6 + 9 v} (\ln (v^{4}) \cdot (9) v) + e^{6 + 9 v} \cdot 4}{v} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2.1.3

Faktorisiere $e^{6 + 9 v}$ aus $e^{6 + 9 v} (\ln (v^{4}) \cdot (9) v) + e^{6 + 9 v} \cdot 4$ heraus.

$\frac{e^{6 + 9 v} (\ln (v^{4}) \cdot (9) v + 4)}{v} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $\ln (v^{4})$ .

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4)}{v} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3

Um $\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4)}{v}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 v^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4)}{v} \cdot \frac{2 v^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.4

Um $\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{v}{v}$ .

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4)}{v} \cdot \frac{2 v^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{v}{v}$

Schritt 4.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $v \cdot 2 v^{\frac{1}{2}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4)}{v}$ mit $\frac{2 v^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4) (2 v^{\frac{1}{2}})}{v (2 v^{\frac{1}{2}})} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{v}{v}$

Schritt 4.5.2

Potenziere $v$ mit $1$ .

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4) (2 v^{\frac{1}{2}})}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{v}{v}$

Schritt 4.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4) (2 v^{\frac{1}{2}})}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{v}{v}$

Schritt 4.5.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4) (2 v^{\frac{1}{2}})}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{v}{v}$

Schritt 4.5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4) (2 v^{\frac{1}{2}})}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{v}{v}$

Schritt 4.5.6

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4) (2 v^{\frac{1}{2}})}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{v}{v}$

Schritt 4.5.7

Mutltipliziere $\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{v}{v}$ .

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4) (2 v^{\frac{1}{2}})}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{2}} v}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

Schritt 4.5.8

Potenziere $v$ mit $1$ .

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4) (2 v^{\frac{1}{2}})}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{2}} v}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 4.5.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4) (2 v^{\frac{1}{2}})}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{2}} v}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

Schritt 4.5.10

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4) (2 v^{\frac{1}{2}})}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{2}} v}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 4.5.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4) (2 v^{\frac{1}{2}})}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{2}} v}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Schritt 4.5.12

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4) (2 v^{\frac{1}{2}})}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{2}} v}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4) (2 v^{\frac{1}{2}}) + 5^{\frac{1}{2}} v}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1

Faktorisiere $v^{\frac{1}{2}}$ aus $e^{6 + 9 v} (9 \ln (v^{4}) v + 4) (2 v^{\frac{1}{2}}) + 5^{\frac{1}{2}} v$ heraus.

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Schritt 4.7.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 4.7.1.1.1

Stelle $6$ und $9 v$ um.

$\frac{e^{9 v + 6} (9 \ln (v^{4}) v + 4) (2 v^{\frac{1}{2}}) + 5^{\frac{1}{2}} v}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.7.1.1.2

Bewege $\ln (v^{4})$ .

$\frac{e^{9 v + 6} (9 v \ln (v^{4}) + 4) (2 v^{\frac{1}{2}}) + 5^{\frac{1}{2}} v}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.7.1.1.3

Bewege $9 v \ln (v^{4}) + 4$ .

$\frac{e^{9 v + 6} \cdot 2 v^{\frac{1}{2}} (9 v \ln (v^{4}) + 4) + 5^{\frac{1}{2}} v}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.7.1.1.4

Bewege $e^{9 v + 6}$ .

$\frac{2 v^{\frac{1}{2}} e^{9 v + 6} (9 v \ln (v^{4}) + 4) + 5^{\frac{1}{2}} v}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.7.1.2

Faktorisiere $v^{\frac{1}{2}}$ aus $2 v^{\frac{1}{2}} e^{9 v + 6} (9 v \ln (v^{4}) + 4)$ heraus.

$\frac{v^{\frac{1}{2}} (2 e^{9 v + 6} (9 v \ln (v^{4}) + 4)) + 5^{\frac{1}{2}} v}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.7.1.3

Faktorisiere $v^{\frac{1}{2}}$ aus $5^{\frac{1}{2}} v$ heraus.

$\frac{v^{\frac{1}{2}} (2 e^{9 v + 6} (9 v \ln (v^{4}) + 4)) + v^{\frac{1}{2}} (5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}})}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.7.1.4

Faktorisiere $v^{\frac{1}{2}}$ aus $v^{\frac{1}{2}} (2 e^{9 v + 6} (9 v \ln (v^{4}) + 4)) + v^{\frac{1}{2}} (5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$\frac{v^{\frac{1}{2}} (2 e^{9 v + 6} (9 v \ln (v^{4}) + 4) + 5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}})}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{v^{\frac{1}{2}} (2 e^{9 v + 6} (9 v \ln (v^{4})) + 2 e^{9 v + 6} \cdot 4 + 5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}})}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.7.3

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\frac{v^{\frac{1}{2}} (18 e^{9 v + 6} (v \ln (v^{4})) + 2 e^{9 v + 6} \cdot 4 + 5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}})}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.7.4

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{v^{\frac{1}{2}} (18 e^{9 v + 6} (v \ln (v^{4})) + 8 e^{9 v + 6} + 5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}})}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.8

Bringe $v^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{18 e^{9 v + 6} (v \ln (v^{4})) + 8 e^{9 v + 6} + 5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 4.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.9.1

Multipliziere $v^{\frac{3}{2}}$ mit $v^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.9.1.1

Bewege $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{18 e^{9 v + 6} (v \ln (v^{4})) + 8 e^{9 v + 6} + 5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}}}{2 (v^{- \frac{1}{2}} v^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 4.9.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{18 e^{9 v + 6} (v \ln (v^{4})) + 8 e^{9 v + 6} + 5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}}}{2 v^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}$

Schritt 4.9.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{18 e^{9 v + 6} (v \ln (v^{4})) + 8 e^{9 v + 6} + 5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{- 1 + 3}{2}}}$

Schritt 4.9.1.4

Addiere $- 1$ und $3$ .

$\frac{18 e^{9 v + 6} (v \ln (v^{4})) + 8 e^{9 v + 6} + 5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}}}{2 v^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.9.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{18 e^{9 v + 6} (v \ln (v^{4})) + 8 e^{9 v + 6} + 5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}}}{2 v^{1}}$

Schritt 4.9.2

Vereinfache $2 v^{1}$ .

$\frac{18 e^{9 v + 6} (v \ln (v^{4})) + 8 e^{9 v + 6} + 5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Schritt 4.10

Stelle die Faktoren in $\frac{18 e^{9 v + 6} (v \ln (v^{4})) + 8 e^{9 v + 6} + 5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}}}{2 v}$ um.

$\frac{18 v e^{9 v + 6} \ln (v^{4}) + 8 e^{9 v + 6} + 5^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}}}{2 v}$