Analysis Beispiele

$P (x) = \frac{1270}{0.4 x^{2} + 9}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Da $1270$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1270}{0.4 x^{2} + 9}$ nach $x$ gleich $1270 \frac{d}{d x} [\frac{1}{0.4 x^{2} + 9}]$ .

$1270 \frac{d}{d x} [\frac{1}{0.4 x^{2} + 9}]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{1}{0.4 x^{2} + 9}$ als ${(0.4 x^{2} + 9)}^{- 1}$ um.

$1270 \frac{d}{d x} [{(0.4 x^{2} + 9)}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 0.4 x^{2} + 9$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $0.4 x^{2} + 9$ .

$1270 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [0.4 x^{2} + 9])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$1270 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [0.4 x^{2} + 9])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $0.4 x^{2} + 9$ .

$1270 (- {(0.4 x^{2} + 9)}^{- 2} \frac{d}{d x} [0.4 x^{2} + 9])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1270$ .

$- 1270 ({(0.4 x^{2} + 9)}^{- 2} \frac{d}{d x} [0.4 x^{2} + 9])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $0.4 x^{2} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [0.4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$- 1270 {(0.4 x^{2} + 9)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [0.4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 3.3

Da $0.4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0.4 x^{2}$ nach $x$ gleich $0.4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 1270 {(0.4 x^{2} + 9)}^{- 2} (0.4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 1270 {(0.4 x^{2} + 9)}^{- 2} (0.4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $2$ mit $0.4$ .

$- 1270 {(0.4 x^{2} + 9)}^{- 2} (0.8 x + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 3.6

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 1270 {(0.4 x^{2} + 9)}^{- 2} (0.8 x + 0)$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.1

Addiere $0.8 x$ und $0$ .

$- 1270 {(0.4 x^{2} + 9)}^{- 2} (0.8 x)$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $0.8$ mit $- 1270$ .

$- 1016 {(0.4 x^{2} + 9)}^{- 2} x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 1016 \frac{1}{{(0.4 x^{2} + 9)}^{2}} x$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $- 1016$ und $\frac{1}{{(0.4 x^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{- 1016}{{(0.4 x^{2} + 9)}^{2}} x$

Schritt 4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1016}{{(0.4 x^{2} + 9)}^{2}} x$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{1016}{{(0.4 x^{2} + 9)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 1016}{{(0.4 x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 4.2.4

Bringe $1016$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{1016 x}{{(0.4 x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $0.2$ aus $0.4 x^{2} + 9$ heraus.

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $0.2$ aus $0.4 x^{2}$ heraus.

$- \frac{1016 x}{{(0.2 (2 x^{2}) + 9)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2

Faktorisiere $0.2$ aus $9$ heraus.

$- \frac{1016 x}{{(0.2 (2 x^{2}) + 0.2 (45))}^{2}}$

Schritt 4.3.1.3

Faktorisiere $0.2$ aus $0.2 (2 x^{2}) + 0.2 (45)$ heraus.

$- \frac{1016 x}{{(0.2 (2 x^{2} + 45))}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Wende die Produktregel auf $0.2 (2 x^{2} + 45)$ an.

$- \frac{1016 x}{{0.2}^{2} {(2 x^{2} + 45)}^{2}}$

Schritt 4.3.3

Potenziere $0.2$ mit $2$ .

$- \frac{1016 x}{0.04 {(2 x^{2} + 45)}^{2}}$

Schritt 4.4

Faktorisiere $1016$ aus $1016 x$ heraus.

$- \frac{1016 (x)}{0.04 {(2 x^{2} + 45)}^{2}}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $0.04$ aus $0.04 {(2 x^{2} + 45)}^{2}$ heraus.

$- \frac{1016 (x)}{0.04 ({(2 x^{2} + 45)}^{2})}$

Schritt 4.6

Separiere Brüche.

$- (\frac{1016}{0.04} \cdot \frac{x}{{(2 x^{2} + 45)}^{2}})$

Schritt 4.7

Dividiere $1016$ durch $0.04$ .

$- (25400 \frac{x}{{(2 x^{2} + 45)}^{2}})$

Schritt 4.8

Kombiniere $25400$ und $\frac{x}{{(2 x^{2} + 45)}^{2}}$ .

$- \frac{25400 x}{{(2 x^{2} + 45)}^{2}}$