Analysis Beispiele

$P (x) = (\frac{4 x - 8}{8 x - 4})$

Schritt 1

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 x - 8$ und $8 x - 4$ .

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [(\frac{4 (x) - 8}{8 x - 4})]$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{d}{d x} [(\frac{4 (x) + 4 (- 2)}{8 x - 4})]$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (x) + 4 (- 2)$ heraus.

$\frac{d}{d x} [(\frac{4 (x - 2)}{8 x - 4})]$

Schritt 1.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [(\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x) - 4})]$

Schritt 1.1.4.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{d}{d x} [(\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x) + 4 (- 1)})]$

Schritt 1.1.4.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (2 x) + 4 (- 1)$ heraus.

$\frac{d}{d x} [(\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x - 1)})]$

Schritt 1.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [(\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x - 1)})]$

Schritt 1.1.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [(\frac{x - 2}{2 x - 1})]$

Schritt 1.2

Entferne die Klammern.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x) - 8}{8 x - 4}]$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x) + 4 (- 2)}{8 x - 4}]$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (x) + 4 (- 2)$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x - 2)}{8 x - 4}]$

Schritt 1.2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x) - 4}]$

Schritt 1.2.4.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x) + 4 (- 1)}]$

Schritt 1.2.4.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (2 x) + 4 (- 1)$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x - 1)}]$

Schritt 1.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x - 1)}]$

Schritt 1.2.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{2 x - 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 2$ und $g (x) = 2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(2 x - 1) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2 x - 1$ mit $1$ .

$\frac{2 x - 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 x - 1 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 x - 1 - (x - 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 x - 1 - (x - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 x - 1 - (x - 2) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 x - 1 - (x - 2) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.10.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{2 x - 1 - (x - 2) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 (x - 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot - 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$\frac{0 - 1 - 2 \cdot - 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{- 1 - 2 \cdot - 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{- 1 + 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.2.3

Addiere $- 1$ und $4$ .

$\frac{3}{{(2 x - 1)}^{2}}$