Analysis Beispiele

$p (t) = 400 (t + \ln (24 + t^{2})) + 60000 - 400 \ln (24)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $400 (t + \ln (24 + t^{2})) + 60000 - 400 \ln (24)$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [400 (t + \ln (24 + t^{2}))] + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$ .

$\frac{d}{d t} [400 (t + \ln (24 + t^{2}))] + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [400 (t + \ln (24 + t^{2}))]$ .

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Schritt 2.1

Da $400$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $400 (t + \ln (24 + t^{2}))$ nach $t$ gleich $400 \frac{d}{d t} [t + \ln (24 + t^{2})]$ .

$400 \frac{d}{d t} [t + \ln (24 + t^{2})] + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + \ln (24 + t^{2})$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\ln (24 + t^{2})]$ .

$400 (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\ln (24 + t^{2})]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$400 (1 + \frac{d}{d t} [\ln (24 + t^{2})]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \ln (t)$ und $g (t) = 24 + t^{2}$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $24 + t^{2}$ .

$400 (1 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [24 + t^{2}]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Schritt 2.4.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$400 (1 + \frac{1}{u} \frac{d}{d t} [24 + t^{2}]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $24 + t^{2}$ .

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} \frac{d}{d t} [24 + t^{2}]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $24 + t^{2}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [24] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} (\frac{d}{d t} [24] + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Schritt 2.6

Da $24$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $24$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} (0 + 2 t)) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Schritt 2.8

Addiere $0$ und $2 t$ .

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} (2 t)) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Schritt 2.9

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{24 + t^{2}}$ .

$400 (1 + \frac{2}{24 + t^{2}} t) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Schritt 2.10

Kombiniere $\frac{2}{24 + t^{2}}$ und $t$ .

$400 (1 + \frac{2 t}{24 + t^{2}}) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Schritt 2.11

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$400 (\frac{24 + t^{2}}{24 + t^{2}} + \frac{2 t}{24 + t^{2}}) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Schritt 2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$400 \frac{24 + t^{2} + 2 t}{24 + t^{2}} + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Schritt 2.13

Kombiniere $400$ und $\frac{24 + t^{2} + 2 t}{24 + t^{2}}$ .

$\frac{400 (24 + t^{2} + 2 t)}{24 + t^{2}} + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.1

Da $60000$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $60000$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{400 (24 + t^{2} + 2 t)}{24 + t^{2}} + 0 + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Schritt 3.2

Da $- 400 \ln (24)$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 400 \ln (24)$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{400 (24 + t^{2} + 2 t)}{24 + t^{2}} + 0 + 0$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{400 \cdot 24 + 400 t^{2} + 400 (2 t)}{24 + t^{2}} + 0 + 0$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $400$ mit $24$ .

$\frac{9600 + 400 t^{2} + 400 (2 t)}{24 + t^{2}} + 0 + 0$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $400$ .

$\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}} + 0 + 0$

Schritt 4.2.3

Addiere $\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}}$ und $0$ .

$\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}} + 0$

Schritt 4.2.4

Addiere $\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}}$ und $0$ .

$\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{400 t^{2} + 800 t + 9600}{t^{2} + 24}$

Schritt 4.4

Faktorisiere $400$ aus $400 t^{2} + 800 t + 9600$ heraus.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $400$ aus $400 t^{2}$ heraus.

$\frac{400 (t^{2}) + 800 t + 9600}{t^{2} + 24}$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere $400$ aus $800 t$ heraus.

$\frac{400 (t^{2}) + 400 (2 t) + 9600}{t^{2} + 24}$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere $400$ aus $9600$ heraus.

$\frac{400 t^{2} + 400 (2 t) + 400 \cdot 24}{t^{2} + 24}$

Schritt 4.4.4

Faktorisiere $400$ aus $400 t^{2} + 400 (2 t)$ heraus.

$\frac{400 (t^{2} + 2 t) + 400 \cdot 24}{t^{2} + 24}$

Schritt 4.4.5

Faktorisiere $400$ aus $400 (t^{2} + 2 t) + 400 \cdot 24$ heraus.

$\frac{400 (t^{2} + 2 t + 24)}{t^{2} + 24}$