Analysis Beispiele

$P (t) = 2 {(8)}^{0.019 t}$

Schritt 1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{d}{d t} [2 {(2^{3})}^{0.019 t}]$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{3})}^{0.019 t}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d t} [2 \cdot 2^{3 (0.019 t)}]$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $0.019$ mit $3$ .

$\frac{d}{d t} [2 \cdot 2^{0.057 t}]$

Schritt 3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d t} [2^{1 + 0.057 t}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = 2^{t}$ und $g (t) = 1 + 0.057 t$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + 0.057 t$ .

$\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d t} [1 + 0.057 t]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $2$ .

$2^{u} \ln (2) \frac{d}{d t} [1 + 0.057 t]$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + 0.057 t$ .

$2^{1 + 0.057 t} \ln (2) \frac{d}{d t} [1 + 0.057 t]$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 0.057 t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.057 t]$ .

$2^{1 + 0.057 t} \ln (2) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.057 t])$

Schritt 5.2

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$2^{1 + 0.057 t} \ln (2) (0 + \frac{d}{d t} [0.057 t])$

Schritt 5.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [0.057 t]$ .

$2^{1 + 0.057 t} \ln (2) \frac{d}{d t} [0.057 t]$

Schritt 5.4

Da $0.057$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $0.057 t$ nach $t$ gleich $0.057 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2^{1 + 0.057 t} \ln (2) (0.057 \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 5.5

Vereinfache durch Multiplizieren von Termen.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $0.057$ mit $\ln (2)$ .

$2^{1 + 0.057 t} \cdot 0.03950938 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 5.5.2

Bringe $0.03950938$ auf die linke Seite von $2^{1 + 0.057 t}$ .

$0.03950938 \cdot 2^{1 + 0.057 t} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 5.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0.03950938 \cdot 2^{1 + 0.057 t} \cdot 1$

Schritt 5.7

Mutltipliziere $0.03950938$ mit $1$ .

$0.03950938 \cdot 2^{1 + 0.057 t}$