Analysis Beispiele

$p (t) = \frac{14 t}{t^{2} + 60} + 0.18$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{14 t}{t^{2} + 60} + 0.18$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [\frac{14 t}{t^{2} + 60}] + \frac{d}{d t} [0.18]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{14 t}{t^{2} + 60}] + \frac{d}{d t} [0.18]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [\frac{14 t}{t^{2} + 60}]$ .

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Schritt 2.1

Da $14$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{14 t}{t^{2} + 60}$ nach $t$ gleich $14 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 60}]$ .

$14 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 60}] + \frac{d}{d t} [0.18]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = t^{2} + 60$ .

$14 \frac{(t^{2} + 60) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 60]}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + \frac{d}{d t} [0.18]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$14 \frac{(t^{2} + 60) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 60]}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + \frac{d}{d t} [0.18]$

Schritt 2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} + 60$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [60]$ .

$14 \frac{(t^{2} + 60) \cdot 1 - t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [60])}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + \frac{d}{d t} [0.18]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$14 \frac{(t^{2} + 60) \cdot 1 - t (2 t + \frac{d}{d t} [60])}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + \frac{d}{d t} [0.18]$

Schritt 2.6

Da $60$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $60$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$14 \frac{(t^{2} + 60) \cdot 1 - t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + \frac{d}{d t} [0.18]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $t^{2} + 60$ mit $1$ .

$14 \frac{t^{2} + 60 - t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + \frac{d}{d t} [0.18]$

Schritt 2.8

Addiere $2 t$ und $0$ .

$14 \frac{t^{2} + 60 - t (2 t)}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + \frac{d}{d t} [0.18]$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$14 \frac{t^{2} + 60 - 2 t \cdot t}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + \frac{d}{d t} [0.18]$

Schritt 2.10

Potenziere $t$ mit $1$ .

$14 \frac{t^{2} + 60 - 2 (t^{1} t)}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + \frac{d}{d t} [0.18]$

Schritt 2.11

Potenziere $t$ mit $1$ .

$14 \frac{t^{2} + 60 - 2 (t^{1} t^{1})}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + \frac{d}{d t} [0.18]$

Schritt 2.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$14 \frac{t^{2} + 60 - 2 t^{1 + 1}}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + \frac{d}{d t} [0.18]$

Schritt 2.13

Addiere $1$ und $1$ .

$14 \frac{t^{2} + 60 - 2 t^{2}}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + \frac{d}{d t} [0.18]$

Schritt 2.14

Subtrahiere $2 t^{2}$ von $t^{2}$ .

$14 \frac{- t^{2} + 60}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + \frac{d}{d t} [0.18]$

Schritt 2.15

Kombiniere $14$ und $\frac{- t^{2} + 60}{{(t^{2} + 60)}^{2}}$ .

$\frac{14 (- t^{2} + 60)}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + \frac{d}{d t} [0.18]$

Schritt 3

Da $0.18$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $0.18$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{14 (- t^{2} + 60)}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + 0$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{14 (- t^{2}) + 14 \cdot 60}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + 0$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $14$ .

$\frac{- 14 t^{2} + 14 \cdot 60}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + 0$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $14$ mit $60$ .

$\frac{- 14 t^{2} + 840}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + 0$

Schritt 4.2.3

Addiere $\frac{- 14 t^{2} + 840}{{(t^{2} + 60)}^{2}}$ und $0$ .

$\frac{- 14 t^{2} + 840}{{(t^{2} + 60)}^{2}}$

Schritt 4.3

Faktorisiere $14$ aus $- 14 t^{2} + 840$ heraus.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $14$ aus $- 14 t^{2}$ heraus.

$\frac{14 (- t^{2}) + 840}{{(t^{2} + 60)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $14$ aus $840$ heraus.

$\frac{14 (- t^{2}) + 14 (60)}{{(t^{2} + 60)}^{2}}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $14$ aus $14 (- t^{2}) + 14 (60)$ heraus.

$\frac{14 (- t^{2} + 60)}{{(t^{2} + 60)}^{2}}$

Schritt 4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- t^{2}$ heraus.

$\frac{14 (- (t^{2}) + 60)}{{(t^{2} + 60)}^{2}}$

Schritt 4.5

Schreibe $60$ als $- 1 (- 60)$ um.

$\frac{14 (- (t^{2}) - 1 (- 60))}{{(t^{2} + 60)}^{2}}$

Schritt 4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (t^{2}) - 1 (- 60)$ heraus.

$\frac{14 (- (t^{2} - 60))}{{(t^{2} + 60)}^{2}}$

Schritt 4.7

Schreibe $- (t^{2} - 60)$ als $- 1 (t^{2} - 60)$ um.

$\frac{14 (- 1 (t^{2} - 60))}{{(t^{2} + 60)}^{2}}$

Schritt 4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{14 (t^{2} - 60)}{{(t^{2} + 60)}^{2}}$