Analysis Beispiele

$P (k) = \frac{160}{1 + 0.05 e^{2 (- k)}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d}{d k} [\frac{160}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}]$

Schritt 1.2

Da $160$ konstant bezüglich $k$ ist, ist die Ableitung von $\frac{160}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}$ nach $k$ gleich $160 \frac{d}{d k} [\frac{1}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}]$ .

$160 \frac{d}{d k} [\frac{1}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}]$

Schritt 1.3

Schreibe $\frac{1}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}$ als ${(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 1}$ um.

$160 \frac{d}{d k} [{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ ist $f' (g (k)) g' (k)$ , mit $f (k) = k^{- 1}$ und $g (k) = 1 + 0.05 e^{- 2 k}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $1 + 0.05 e^{- 2 k}$ .

$160 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d k} [1 + 0.05 e^{- 2 k}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$160 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d k} [1 + 0.05 e^{- 2 k}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + 0.05 e^{- 2 k}$ .

$160 (- {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} \frac{d}{d k} [1 + 0.05 e^{- 2 k}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $160$ .

$- 160 ({(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} \frac{d}{d k} [1 + 0.05 e^{- 2 k}])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 0.05 e^{- 2 k}$ nach $k$ $\frac{d}{d k} [1] + \frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}]$ .

$- 160 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (\frac{d}{d k} [1] + \frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}])$

Schritt 3.3

Da $1$ konstant bezüglich $k$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $k$ gleich $0$ .

$- 160 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}])$

Schritt 3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}]$ .

$- 160 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} \frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}]$

Schritt 3.5

Da $0.05$ konstant bezüglich $k$ ist, ist die Ableitung von $0.05 e^{- 2 k}$ nach $k$ gleich $0.05 \frac{d}{d k} [e^{- 2 k}]$ .

$- 160 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (0.05 \frac{d}{d k} [e^{- 2 k}])$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $0.05$ mit $- 160$ .

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} \frac{d}{d k} [e^{- 2 k}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ ist $f' (g (k)) g' (k)$ , mit $f (k) = e^{k}$ und $g (k) = - 2 k$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- 2 k$ .

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d k} [- 2 k])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d k} [- 2 k])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- 2 k$ .

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{- 2 k} \frac{d}{d k} [- 2 k])$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $k$ ist, ist die Ableitung von $- 2 k$ nach $k$ gleich $- 2 \frac{d}{d k} [k]$ .

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{- 2 k} (- 2 \frac{d}{d k} [k]))$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 8$ .

$16 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{- 2 k} (\frac{d}{d k} [k]))$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ gleich $n k^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$16 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{- 2 k} \cdot 1)$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $e^{- 2 k}$ mit $1$ .

$16 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} e^{- 2 k}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 \frac{1}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}} e^{- 2 k}$

Schritt 6.2

Vereine die Terme

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $16$ und $\frac{1}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}}$ .

$\frac{16}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}} e^{- 2 k}$

Schritt 6.2.2

Kombiniere $\frac{16}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}}$ und $e^{- 2 k}$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}}$

Schritt 6.3

Stelle die Terme um.

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(0.05 e^{- 2 k} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $0.05$ aus $0.05 e^{- 2 k} + 1$ heraus.

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Schritt 6.4.1.1

Faktorisiere $0.05$ aus $0.05 e^{- 2 k}$ heraus.

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(0.05 (e^{- 2 k}) + 1)}^{2}}$

Schritt 6.4.1.2

Faktorisiere $0.05$ aus $1$ heraus.

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(0.05 e^{- 2 k} + 0.05 \cdot 20)}^{2}}$

Schritt 6.4.1.3

Faktorisiere $0.05$ aus $0.05 e^{- 2 k} + 0.05 \cdot 20$ heraus.

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(0.05 (e^{- 2 k} + 20))}^{2}}$

Schritt 6.4.2

Wende die Produktregel auf $0.05 (e^{- 2 k} + 20)$ an.

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{0.05}^{2} {(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

Schritt 6.4.3

Potenziere $0.05$ mit $2$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{0.0025 {(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

Schritt 6.5

Faktorisiere $16$ aus $16 e^{- 2 k}$ heraus.

$\frac{16 (e^{- 2 k})}{0.0025 {(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

Schritt 6.6

Faktorisiere $0.0025$ aus $0.0025 {(e^{- 2 k} + 20)}^{2}$ heraus.

$\frac{16 (e^{- 2 k})}{0.0025 ({(e^{- 2 k} + 20)}^{2})}$

Schritt 6.7

Separiere Brüche.

$\frac{16}{0.0025} \cdot \frac{e^{- 2 k}}{{(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

Schritt 6.8

Dividiere $16$ durch $0.0025$ .

$6400 \frac{e^{- 2 k}}{{(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

Schritt 6.9

Kombiniere $6400$ und $\frac{e^{- 2 k}}{{(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$ .

$\frac{6400 e^{- 2 k}}{{(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$