Analysis Beispiele

$N (x) = 340 + 84 \ln (2 + 3.5 x)$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $340 + 84 \ln (2 + 3.5 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [340] + \frac{d}{d x} [84 \ln (2 + 3.5 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [340] + \frac{d}{d x} [84 \ln (2 + 3.5 x)]$

Schritt 1.2

Da $340$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $340$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [84 \ln (2 + 3.5 x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [84 \ln (2 + 3.5 x)]$ .

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Schritt 2.1

Da $84$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $84 \ln (2 + 3.5 x)$ nach $x$ gleich $84 \frac{d}{d x} [\ln (2 + 3.5 x)]$ .

$0 + 84 \frac{d}{d x} [\ln (2 + 3.5 x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 2 + 3.5 x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 + 3.5 x$ .

$0 + 84 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 + 3.5 x])$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$0 + 84 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 + 3.5 x])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 + 3.5 x$ .

$0 + 84 (\frac{1}{2 + 3.5 x} \frac{d}{d x} [2 + 3.5 x])$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + 3.5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3.5 x]$ .

$0 + 84 (\frac{1}{2 + 3.5 x} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3.5 x]))$

Schritt 2.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + 84 (\frac{1}{2 + 3.5 x} (0 + \frac{d}{d x} [3.5 x]))$

Schritt 2.5

Da $3.5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3.5 x$ nach $x$ gleich $3.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 84 (\frac{1}{2 + 3.5 x} (0 + 3.5 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 84 (\frac{1}{2 + 3.5 x} (0 + 3.5 \cdot 1))$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $3.5$ mit $1$ .

$0 + 84 (\frac{1}{2 + 3.5 x} (0 + 3.5))$

Schritt 2.8

Addiere $0$ und $3.5$ .

$0 + 84 (\frac{1}{2 + 3.5 x} \cdot 3.5)$

Schritt 2.9

Kombiniere $\frac{1}{2 + 3.5 x}$ und $3.5$ .

$0 + 84 \frac{3.5}{2 + 3.5 x}$

Schritt 2.10

Kombiniere $84$ und $\frac{3.5}{2 + 3.5 x}$ .

$0 + \frac{84 \cdot 3.5}{2 + 3.5 x}$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $84$ mit $3.5$ .

$0 + \frac{294}{2 + 3.5 x}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Addiere $0$ und $\frac{294}{2 + 3.5 x}$ .

$\frac{294}{2 + 3.5 x}$

Schritt 3.2

Stelle die Terme um.

$\frac{294}{3.5 x + 2}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $0.5$ aus $3.5 x + 2$ heraus.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $0.5$ aus $3.5 x$ heraus.

$\frac{294}{0.5 (7 x) + 2}$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $0.5$ aus $2$ heraus.

$\frac{294}{0.5 (7 x) + 0.5 (4)}$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $0.5$ aus $0.5 (7 x) + 0.5 (4)$ heraus.

$\frac{294}{0.5 (7 x + 4)}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $294$ aus $294$ heraus.

$\frac{294 (1)}{0.5 (7 x + 4)}$

Schritt 3.5

Separiere Brüche.

$\frac{294}{0.5} \cdot \frac{1}{7 x + 4}$

Schritt 3.6

Dividiere $294$ durch $0.5$ .

$588 \frac{1}{7 x + 4}$

Schritt 3.7

Kombiniere $588$ und $\frac{1}{7 x + 4}$ .

$\frac{588}{7 x + 4}$