Analysis Beispiele

$m (x) = 12 {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}} - 93$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}} - 93$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 93]$ .

$\frac{d}{d x} [12 {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 93]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}]$ .

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Schritt 2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 93]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 5$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 5$ .

$12 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$12 (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 5$ .

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [5])) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Schritt 2.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2} - 1} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Schritt 2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Schritt 2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Schritt 2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3 - 2}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Schritt 2.9.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Schritt 2.10

Addiere $2 x$ und $0$ .

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Schritt 2.11

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$12 (\frac{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Schritt 2.12

Kombiniere $2$ und $\frac{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$12 (\frac{2 (3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2} x) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Schritt 2.13

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$12 (\frac{6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} x) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Schritt 2.14

Kombiniere $\frac{6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $x$ .

$12 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- 93]$

Schritt 2.15

Faktorisiere $2$ aus $6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x$ heraus.

$12 \frac{2 (3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} + \frac{d}{d x} [- 93]$

Schritt 2.16

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.16.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$12 \frac{2 (3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 93]$

Schritt 2.16.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 \frac{2 (3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 93]$

Schritt 2.16.3

Forme den Ausdruck um.

$12 \frac{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x}{1} + \frac{d}{d x} [- 93]$

Schritt 2.16.4

Dividiere $3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x$ durch $1$ .

$12 (3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Schritt 2.17

Mutltipliziere $3$ mit $12$ .

$36 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{d}{d x} [- 93]$

Schritt 3

Da $- 93$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 93$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$36 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x + 0$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Addiere $36 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x$ und $0$ .

$36 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren von $36 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x$ um.

$36 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$