Analysis Beispiele

$m (x) = {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ und $g (x) = \cos (1 - x^{2})$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (1 - x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (1 - x^{2})$ .

$\frac{3}{2} {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

Schritt 2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

Schritt 3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{2} {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3}{2} {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{3}{2} {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und ${\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Schritt 7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $1 - x^{2}$ .

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Schritt 7.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Schritt 7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 - x^{2}$ .

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \sin (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Schritt 8

Differenziere.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $\sin (1 - x^{2})$ .

$- \frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 8.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 8.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 8.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 8.6

Multipliziere.

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Schritt 8.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 8.6.2

Mutltipliziere $\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2}$ mit $1$ .

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 8.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} (2 x)$

Schritt 8.8

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.8.1

Kombiniere $2$ und $\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2}$ .

$\frac{2 (3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}))}{2} x$

Schritt 8.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 ({\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}))}{2} x$

Schritt 8.8.3

Kombiniere $\frac{6 ({\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}))}{2}$ und $x$ .

$\frac{6 ({\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})) x}{2}$

Schritt 8.8.4

Faktorisiere $2$ aus $6 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x$ heraus.

$\frac{2 (3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x)}{2}$

Schritt 9

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x)}{2 (1)}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x)}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x}{1}$

Schritt 9.4

Dividiere $3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x$ durch $1$ .

$3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x$

Schritt 10

Stelle die Faktoren von $3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x$ um.

$3 x {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})$