Analysis Beispiele

$h (x) = x \ln (\arcsin (x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (\arcsin (x))$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (\arcsin (x))] + \ln (\arcsin (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \arcsin (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\arcsin (x)$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\arcsin (x)]) + \ln (\arcsin (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\arcsin (x)]) + \ln (\arcsin (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\arcsin (x)$ .

$x (\frac{1}{\arcsin (x)} \frac{d}{d x} [\arcsin (x)]) + \ln (\arcsin (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Kombiniere $\frac{1}{\arcsin (x)}$ und $x$ .

$\frac{x}{\arcsin (x)} \frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \ln (\arcsin (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4

Die Ableitung von $\arcsin (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{x}{\arcsin (x)} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \ln (\arcsin (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{x}{\arcsin (x)}$ mit $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{x}{\arcsin (x) \sqrt{1 - x^{2}}} + \ln (\arcsin (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{\arcsin (x) \sqrt{1 - x^{2}}} + \ln (\arcsin (x)) \cdot 1$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\ln (\arcsin (x))$ mit $1$ .

$\frac{x}{\arcsin (x) \sqrt{1 - x^{2}}} + \ln (\arcsin (x))$