Analysis Beispiele

$q (x) = \sin (x) \sec (2 x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \sec (2 x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sec (u)$ nach $u$ ist $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sin (x) (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\sin (x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 \cdot (\sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \sec (2 x) \cos (x)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Stelle die Terme um.

$2 \sec (2 x) \sin (x) \tan (2 x) + \cos (x) \sec (2 x)$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Schreibe $\sec (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$2 \frac{1}{\cos (2 x)} \sin (x) \tan (2 x) + \cos (x) \sec (2 x)$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{2}{\cos (2 x)} \sin (x) \tan (2 x) + \cos (x) \sec (2 x)$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $\frac{2}{\cos (2 x)}$ und $\sin (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (2 x)} \tan (2 x) + \cos (x) \sec (2 x)$

Schritt 5.2.4

Schreibe $\tan (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \cos (x) \sec (2 x)$

Schritt 5.2.5

Multipliziere $\frac{2 \sin (x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

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Schritt 5.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sin (x)}{\cos (2 x)}$ mit $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} + \cos (x) \sec (2 x)$

Schritt 5.2.5.2

Potenziere $\cos (2 x)$ mit $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos^{1} (2 x) \cos (2 x)} + \cos (x) \sec (2 x)$

Schritt 5.2.5.3

Potenziere $\cos (2 x)$ mit $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x)} + \cos (x) \sec (2 x)$

Schritt 5.2.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{{\cos (2 x)}^{1 + 1}} + \cos (x) \sec (2 x)$

Schritt 5.2.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} + \cos (x) \sec (2 x)$

Schritt 5.2.6

Schreibe $\sec (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (2 x)}$

Schritt 5.2.7

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Schritt 5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $\cos (2 x)$ aus $\cos^{2} (2 x)$ heraus.

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Schritt 5.3.2

Separiere Brüche.

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (2 x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Schritt 5.3.3

Schreibe $\frac{\sin (x)}{\cos (2 x)}$ als ein Produkt um.

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} (\sin (x) \frac{1}{\cos (2 x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Schritt 5.3.4

Schreibe $\sin (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Schritt 5.3.5

Vereinfache.

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Schritt 5.3.5.1

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} (\sin (x) \frac{1}{\cos (2 x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Schritt 5.3.5.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (2 x)}$ nach $\sec (2 x)$ um.

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} (\sin (x) \sec (2 x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Schritt 5.3.6

Separiere Brüche.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} (\sin (x) \sec (2 x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Schritt 5.3.7

Wandle von $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ nach $\tan (2 x)$ um.

$\frac{2}{1} \tan (2 x) (\sin (x) \sec (2 x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Schritt 5.3.8

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \tan (2 x) (\sin (x) \sec (2 x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Schritt 5.3.9

Schreibe $\frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$ als ein Produkt um.

$2 \tan (2 x) \sin (x) \sec (2 x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (2 x)}$

Schritt 5.3.10

Schreibe $\cos (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$2 \tan (2 x) \sin (x) \sec (2 x) + \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$

Schritt 5.3.11

Vereinfache.

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Schritt 5.3.11.1

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$2 \tan (2 x) \sin (x) \sec (2 x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (2 x)}$

Schritt 5.3.11.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (2 x)}$ nach $\sec (2 x)$ um.

$2 \tan (2 x) \sin (x) \sec (2 x) + \cos (x) \sec (2 x)$