Analysis Beispiele

$q (x) = 8 (\sqrt{\frac{5 (\sin (x))}{3}}) - \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 (\sqrt{\frac{5 (\sin (x))}{3}}) - \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 (\sqrt{\frac{5 (\sin (x))}{3}})] + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 (\sqrt{\frac{5 (\sin (x))}{3}})] + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 (\sqrt{\frac{5 (\sin (x))}{3}})]$ .

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{5 \sin (x)}{3}}$ als ${(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [8 {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Schritt 2.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [{(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \frac{5 \sin (x)}{3}$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{5 \sin (x)}{3}$ .

$8 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{5 \sin (x)}{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{5 \sin (x)}{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Schritt 2.4

Da $\frac{5}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 \sin (x)}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Schritt 2.5

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Schritt 2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Schritt 2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Schritt 2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Schritt 2.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{- 1}{2}} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Schritt 2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Schritt 2.11

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $\cos (x)$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{5 \cos (x)}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Schritt 2.12

Mutltipliziere $\frac{5 \cos (x)}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{5 \cos (x)}{3 \cdot 2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Schritt 2.13

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$8 (\frac{5 \cos (x)}{6} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Schritt 2.14

Kombiniere $\frac{5 \cos (x)}{6}$ und $8$ .

$\frac{5 \cos (x) \cdot 8}{6} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Schritt 2.15

Mutltipliziere $8$ mit $5$ .

$\frac{40 \cos (x)}{6} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Schritt 2.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $40$ und $6$ .

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Schritt 2.16.1

Faktorisiere $2$ aus $40 \cos (x)$ heraus.

$\frac{2 (20 \cos (x))}{6} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Schritt 2.16.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.16.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (20 \cos (x))}{2 (3)} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Schritt 2.16.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (20 \cos (x))}{2 \cdot 3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Schritt 2.16.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{5 \cos (x)}$ als ${(5 \cos (x))}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{{(5 \cos (x))}^{\frac{1}{3}}}{7}]$

Schritt 3.2

Faktorisiere $5$ aus $5 \cos (x)$ heraus.

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{{(5 (\cos (x)))}^{\frac{1}{3}}}{7}]$

Schritt 3.3

Wende die Produktregel auf $5 (\cos (x))$ an.

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5^{\frac{1}{3}} {\cos (x)}^{\frac{1}{3}}}{7}]$

Schritt 3.4

Da $- \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{5^{\frac{1}{3}} {\cos (x)}^{\frac{1}{3}}}{7}$ nach $x$ gleich $- \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 3.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 3.5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 3.6

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1}{3} - 1} (- \sin (x)))$

Schritt 3.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (- \sin (x)))$

Schritt 3.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (- \sin (x)))$

Schritt 3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (- \sin (x)))$

Schritt 3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1 - 3}{3}} (- \sin (x)))$

Schritt 3.10.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{- 2}{3}} (- \sin (x)))$

Schritt 3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{- \frac{2}{3}} (- \sin (x)))$

Schritt 3.12

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${\cos (x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{{\cos (x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} (- \sin (x)))$

Schritt 3.13

Kombiniere $\frac{{\cos (x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ und $\sin (x)$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (- \frac{{\cos (x)}^{- \frac{2}{3}} \sin (x)}{3})$

Schritt 3.14

Bringe ${\cos (x)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (- \frac{\sin (x)}{3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + 1 \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} \frac{\sin (x)}{3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.16

Mutltipliziere $\frac{5^{\frac{1}{3}}}{7}$ mit $1$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} \cdot \frac{\sin (x)}{3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.17

Mutltipliziere $\frac{5^{\frac{1}{3}}}{7}$ mit $\frac{\sin (x)}{3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{7 (3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 3.18

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{3}{5 \sin (x)})}^{\frac{1}{2}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{5 \sin (x)}$ an.

$\frac{20 \cos (x)}{3} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}}}{{(5 \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.2

Wende die Produktregel auf $5 \sin (x)$ an.

$\frac{20 \cos (x)}{3} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.3

Vereine die Terme

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $\frac{20 \cos (x)}{3}$ mit $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{20 \cos (x) \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3 (5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.3.2

Bringe $3^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3 \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{- \frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.3.3

Multipliziere $3$ mit $3^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.3.1

Bewege $3^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3^{- \frac{1}{2}} \cdot 3 \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.3.3.2

Mutltipliziere $3^{- \frac{1}{2}}$ mit $3$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3^{- \frac{1}{2}} \cdot 3^{1} \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.3.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{20 \cos (x)}{3^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{20 \cos (x)}{3^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{20 \cos (x)}{3^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.3.3.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$