Analysis Beispiele

$q (t) = \frac{5 t}{t^{2} - 5 t - 3}$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 t}{t^{2} - 5 t - 3}$ nach $t$ gleich $5 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} - 5 t - 3}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} - 5 t - 3}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = t^{2} - 5 t - 3$ .

$5 \frac{(t^{2} - 5 t - 3) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t^{2} - 5 t - 3]}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \frac{(t^{2} - 5 t - 3) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} - 5 t - 3]}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $t^{2} - 5 t - 3$ mit $1$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t \frac{d}{d t} [t^{2} - 5 t - 3]}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} - 5 t - 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5 t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5 t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t + \frac{d}{d t} [- 5 t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Schritt 3.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 5 t$ nach $t$ gleich $- 5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5 + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Schritt 3.8

Da $- 3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5 + 0)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Schritt 3.9

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.1

Addiere $2 t - 5$ und $0$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Schritt 3.9.2

Kombiniere $5$ und $\frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$ .

$\frac{5 (t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5))}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t) - t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 t^{2} + 5 (- 5 t) + 5 \cdot - 3 + 5 (- t (2 t)) + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $5$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t + 5 \cdot - 3 + 5 (- t (2 t)) + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 + 5 (- t (2 t)) + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.3

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.3.1

Bewege $t$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 + 5 (- (t \cdot t) \cdot 2) + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.3.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 + 5 (- t^{2} \cdot 2) + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 + 5 (- 2 t^{2}) + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 - 10 t^{2} + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 - 10 t^{2} + 5 (5 t)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.7

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 - 10 t^{2} + 25 t}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5 t^{2} - 25 t - 15 - 10 t^{2} + 25 t$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Addiere $- 25 t$ und $25 t$ .

$\frac{5 t^{2} - 15 - 10 t^{2} + 0}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $5 t^{2} - 15 - 10 t^{2}$ und $0$ .

$\frac{5 t^{2} - 15 - 10 t^{2}}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Schritt 4.3.3

Subtrahiere $10 t^{2}$ von $5 t^{2}$ .

$\frac{- 5 t^{2} - 15}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Schritt 4.4

Faktorisiere $5$ aus $- 5 t^{2} - 15$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 t^{2}$ heraus.

$\frac{5 (- t^{2}) - 15}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere $5$ aus $- 15$ heraus.

$\frac{5 (- t^{2}) + 5 (- 3)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (- t^{2}) + 5 (- 3)$ heraus.

$\frac{5 (- t^{2} - 3)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- t^{2}$ heraus.

$\frac{5 (- (t^{2}) - 3)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Schritt 4.6

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{5 (- (t^{2}) - 1 (3))}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Schritt 4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (t^{2}) - 1 (3)$ heraus.

$\frac{5 (- (t^{2} + 3))}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Schritt 4.8

Schreibe $- (t^{2} + 3)$ als $- 1 (t^{2} + 3)$ um.

$\frac{5 (- 1 (t^{2} + 3))}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Schritt 4.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 (t^{2} + 3)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$