Analysis Beispiele

$r (t) = - 6 t {(5 x^{4} - 1)}^{4}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{d}{d t} [- 6 t ({(5 x^{4})}^{4} + 4 {(5 x^{4})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $5 x^{4}$ an.

$\frac{d}{d t} [- 6 t (5^{4} {(x^{4})}^{4} + 4 {(5 x^{4})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Schritt 2.2

Potenziere $5$ mit $4$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 {(x^{4})}^{4} + 4 {(5 x^{4})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{4}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{4 \cdot 4} + 4 {(5 x^{4})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} + 4 {(5 x^{4})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Schritt 2.4

Wende die Produktregel auf $5 x^{4}$ an.

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} + 4 (5^{3} {(x^{4})}^{3}) \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Schritt 2.5

Potenziere $5$ mit $3$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} + 4 (125 {(x^{4})}^{3}) \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Schritt 2.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{3}$ .

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Schritt 2.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} + 4 (125 x^{4 \cdot 3}) \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} + 4 (125 x^{12}) \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $125$ mit $4$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} + 500 x^{12} \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $500$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Schritt 2.9

Wende die Produktregel auf $5 x^{4}$ an.

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 6 (5^{2} {(x^{4})}^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Schritt 2.10

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 6 (25 {(x^{4})}^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Schritt 2.11

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{2}$ .

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Schritt 2.11.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 6 (25 x^{4 \cdot 2}) {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 6 (25 x^{8}) {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Schritt 2.12

Mutltipliziere $25$ mit $6$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Schritt 2.13

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} \cdot 1 + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Schritt 2.14

Mutltipliziere $150$ mit $1$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Schritt 2.15

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} + 20 x^{4} {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Schritt 2.16

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} + 20 x^{4} \cdot - 1 + {(- 1)}^{4})]$

Schritt 2.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $20$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + {(- 1)}^{4})]$

Schritt 2.18

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + 1)]$

Schritt 3

Da $- 6 (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + 1)$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + 1)$ nach $t$ gleich $- 6 (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + 1) \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 6 (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 6 (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + 1) \cdot 1$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$- 6 (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + 1)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 6 (625 x^{16}) - 6 (- 500 x^{12}) - 6 (150 x^{8}) - 6 (- 20 x^{4}) - 6 \cdot 1$

Schritt 6.2

Vereine die Terme

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $625$ mit $- 6$ .

$- 3750 x^{16} - 6 (- 500 x^{12}) - 6 (150 x^{8}) - 6 (- 20 x^{4}) - 6 \cdot 1$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $- 500$ mit $- 6$ .

$- 3750 x^{16} + 3000 x^{12} - 6 (150 x^{8}) - 6 (- 20 x^{4}) - 6 \cdot 1$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $150$ mit $- 6$ .

$- 3750 x^{16} + 3000 x^{12} - 900 x^{8} - 6 (- 20 x^{4}) - 6 \cdot 1$

Schritt 6.2.4

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 6$ .

$- 3750 x^{16} + 3000 x^{12} - 900 x^{8} + 120 x^{4} - 6 \cdot 1$

Schritt 6.2.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$- 3750 x^{16} + 3000 x^{12} - 900 x^{8} + 120 x^{4} - 6$