Analysis Beispiele

$r (t) = t^{2} \cdot i + (1 - t) \cdot j + (\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} \cdot i + (1 - t) \cdot j + (\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2} \cdot i] + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} \cdot i] + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [t^{2} \cdot i]$ .

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Schritt 2.1

Da $i$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $t^{2} i$ nach $t$ gleich $i \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$i \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$i (2 t) + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Schritt 2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$2 i t + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j]$ .

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Schritt 3.1

Da $j$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $(1 - t) j$ nach $t$ gleich $j \frac{d}{d t} [1 - t]$ .

$2 i t + j \frac{d}{d t} [1 - t] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$2 i t + j (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Schritt 3.3

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$2 i t + j (0 + \frac{d}{d t} [- t]) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Schritt 3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 i t + j (0 - \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 i t + j (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 i t + j (0 - 1) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Schritt 3.7

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$2 i t + j \cdot - 1 + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Schritt 3.8

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $j$ .

$2 i t - 1 \cdot j + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Schritt 3.9

Schreibe $- 1 j$ als $- j$ um.

$2 i t - j + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$ .

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $t^{3}$ .

$2 i t - j + \frac{d}{d t} [\frac{2 t^{3}}{3} \cdot k]$

Schritt 4.2

Kombiniere $\frac{2 t^{3}}{3}$ und $k$ .

$2 i t - j + \frac{d}{d t} [\frac{2 t^{3} k}{3}]$

Schritt 4.3

Da $\frac{2 k}{3}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 t^{3} k}{3}$ nach $t$ gleich $\frac{2 k}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$2 i t - j + \frac{2 k}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 i t - j + \frac{2 k}{3} (3 t^{2})$

Schritt 4.5

Kombiniere $3$ und $\frac{2 k}{3}$ .

$2 i t - j + \frac{3 (2 k)}{3} t^{2}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$2 i t - j + \frac{6 k}{3} t^{2}$

Schritt 4.7

Kombiniere $\frac{6 k}{3}$ und $t^{2}$ .

$2 i t - j + \frac{6 k t^{2}}{3}$

Schritt 4.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 4.8.1

Faktorisiere $3$ aus $6 k t^{2}$ heraus.

$2 i t - j + \frac{3 (2 k t^{2})}{3}$

Schritt 4.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$2 i t - j + \frac{3 (2 k t^{2})}{3 (1)}$

Schritt 4.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 i t - j + \frac{3 (2 k t^{2})}{3 \cdot 1}$

Schritt 4.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 i t - j + \frac{2 k t^{2}}{1}$

Schritt 4.8.2.4

Dividiere $2 k t^{2}$ durch $1$ .

$2 i t - j + 2 k t^{2}$

Schritt 5

Stelle die Terme um.

$2 i t + 2 t^{2} k - j$