Analysis Beispiele

$G (y) = {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{3}$ und $g (y) = \frac{y^{2}}{2 y - 1}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{y^{2}}{2 y - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2 y - 1}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2 y - 1}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{y^{2}}{2 y - 1}$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2 y - 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = 2 y - 1$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{(2 y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2}] - y^{2} \frac{d}{d y} [2 y - 1]}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{(2 y - 1) (2 y) - y^{2} \frac{d}{d y} [2 y - 1]}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $2 y - 1$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 \cdot (2 y - 1) y - y^{2} \frac{d}{d y} [2 y - 1]}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y - 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} (\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} (2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} (2 + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Schritt 3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} (2 + 0)}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Schritt 3.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.8.1

Addiere $2$ und $0$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} \cdot 2}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - 2 y^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Schritt 3.8.3

Kombiniere $\frac{2 (2 y - 1) y - 2 y^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$ und $3$ .

$\frac{(2 (2 y - 1) y - 2 y^{2}) \cdot 3}{{(2 y - 1)}^{2}} {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2}$

Schritt 3.8.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $2 (2 y - 1) y - 2 y^{2}$ .

$\frac{3 \cdot (2 (2 y - 1) y - 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{y^{2}}{2 y - 1}$ an.

$\frac{3 (2 (2 y - 1) y - 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 ((2 (2 y) + 2 \cdot - 1) y - 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 (2 y) y + 2 \cdot - 1 y - 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Schritt 4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 (2 y) y) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Schritt 4.5

Vereine die Terme

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 (4 y \cdot y) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{3 (4 (y^{1} y)) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.3

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{3 (4 (y^{1} y^{1})) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 (4 y^{1 + 1}) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 (4 y^{2}) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.6

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12 y^{2} + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{12 y^{2} + 3 (- 2 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{12 y^{2} - 6 y + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{12 y^{2} - 6 y - 6 y^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.10

Subtrahiere $6 y^{2}$ von $12 y^{2}$ .

$\frac{6 y^{2} - 6 y}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.11

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.5.11.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 y^{2} - 6 y}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{y^{2 \cdot 2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{6 y^{2} - 6 y}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{y^{4}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.12

Mutltipliziere $\frac{6 y^{2} - 6 y}{{(2 y - 1)}^{2}}$ mit $\frac{y^{4}}{{(2 y - 1)}^{2}}$ .

$\frac{(6 y^{2} - 6 y) y^{4}}{{(2 y - 1)}^{2} {(2 y - 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.13

Multipliziere ${(2 y - 1)}^{2}$ mit ${(2 y - 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.13.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(6 y^{2} - 6 y) y^{4}}{{(2 y - 1)}^{2 + 2}}$

Schritt 4.5.13.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{(6 y^{2} - 6 y) y^{4}}{{(2 y - 1)}^{4}}$

Schritt 4.6

Stelle die Terme um.

$\frac{y^{4} (6 y^{2} - 6 y)}{{(2 y - 1)}^{4}}$

Schritt 4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1

Faktorisiere $6 y$ aus $6 y^{2} - 6 y$ heraus.

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Schritt 4.7.1.1

Faktorisiere $6 y$ aus $6 y^{2}$ heraus.

$\frac{y^{4} (6 y (y) - 6 y)}{{(2 y - 1)}^{4}}$

Schritt 4.7.1.2

Faktorisiere $6 y$ aus $- 6 y$ heraus.

$\frac{y^{4} (6 y (y) + 6 y (- 1))}{{(2 y - 1)}^{4}}$

Schritt 4.7.1.3

Faktorisiere $6 y$ aus $6 y (y) + 6 y (- 1)$ heraus.

$\frac{y^{4} (6 y (y - 1))}{{(2 y - 1)}^{4}}$

$\frac{y^{4} \cdot 6 y (y - 1)}{{(2 y - 1)}^{4}}$

Schritt 4.7.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.7.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{6 (y^{4} y^{1}) (y - 1)}{{(2 y - 1)}^{4}}$

Schritt 4.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 y^{4 + 1} (y - 1)}{{(2 y - 1)}^{4}}$

Schritt 4.7.2.3

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{6 y^{5} (y - 1)}{{(2 y - 1)}^{4}}$