Analysis Beispiele

$g (x) = x^{2} \log_{3} (\sqrt{x - 1})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 1}$ als ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{2} \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \log_{3} (x)$ und $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\log_{3} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\log_{3} (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1} \ln (3)}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u_{1} \ln (3)} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x - 1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x - 1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 12

Bringe ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 13

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)}$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3))} \frac{d}{d x} [x - 1] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - 1] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 15

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 15.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - 1] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 15.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - 1] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 16.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2}}{2 {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - 1] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 16.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{2 {(x - 1)}^{1} \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - 1] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 17

Vereinfache.

$\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - 1] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 18

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 19

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 20

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)} (1 + 0) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 21

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 21.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)} \cdot 1 + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 21.2

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)}$ mit $1$ .

$\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)} + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 22

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)} + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x)$

Schritt 23

Vereinfache.

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Schritt 23.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2}}{(2 x + 2 \cdot - 1) \ln (3)} + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x)$

Schritt 23.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2}}{2 x \ln (3) + 2 \cdot - 1 \ln (3)} + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x)$

Schritt 23.3

Vereine die Terme

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Schritt 23.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2 x \ln (3) - 2 \ln (3)} + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x)$

Schritt 23.3.2

Um $\log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x \ln (3) - 2 \ln (3)}{2 x \ln (3) - 2 \ln (3)}$ .

$\frac{x^{2}}{2 x \ln (3) - 2 \ln (3)} + \frac{\log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x) (2 x \ln (3) - 2 \ln (3))}{2 x \ln (3) - 2 \ln (3)}$

Schritt 23.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x) (2 x \ln (3) - 2 \ln (3))}{2 x \ln (3) - 2 \ln (3)}$

Schritt 23.4

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2} + 2 x (2 x \ln (3) - 2 \ln (3)) \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 x \ln (3) - 2 \ln (3)}$