Analysis Beispiele

$g (x) = \frac{e^{x}}{1 - 4 x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 1 - 4 x$ .

$\frac{(1 - 4 x) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [1 - 4 x]}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{(1 - 4 x) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [1 - 4 x]}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{(1 - 4 x) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x])}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(1 - 4 x) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x])}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{(1 - 4 x) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [- 4 x]}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 3.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - 4 x) e^{x} - e^{x} (- 4 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{(1 - 4 x) e^{x} + 4 e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(1 - 4 x) e^{x} + 4 e^{x} \cdot 1}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{(1 - 4 x) e^{x} + 4 e^{x}}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 e^{x} - 4 x e^{x} + 4 e^{x}}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{e^{x} - 4 x e^{x} + 4 e^{x}}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Addiere $e^{x}$ und $4 e^{x}$ .

$\frac{- 4 x e^{x} + 5 e^{x}}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- 4 e^{x} x + 5 e^{x}}{{(- 4 x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- 4 e^{x} x + 5 e^{x}$ heraus.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- 4 e^{x} x$ heraus.

$\frac{e^{x} (- 4 x) + 5 e^{x}}{{(- 4 x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $5 e^{x}$ heraus.

$\frac{e^{x} (- 4 x) + e^{x} \cdot 5}{{(- 4 x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (- 4 x) + e^{x} \cdot 5$ heraus.

$\frac{e^{x} (- 4 x + 5)}{{(- 4 x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{e^{x} (- (4 x) + 5)}{{(- 4 x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.6

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$\frac{e^{x} (- (4 x) - 1 (- 5))}{{(- 4 x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x) - 1 (- 5)$ heraus.

$\frac{e^{x} (- (4 x - 5))}{{(- 4 x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.8

Schreibe $- (4 x - 5)$ als $- 1 (4 x - 5)$ um.

$\frac{e^{x} (- 1 (4 x - 5))}{{(- 4 x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{e^{x} (4 x - 5)}{{(- 4 x + 1)}^{2}}$