Analysis Beispiele

$g (x) = \cot^{2} (2 \sqrt{x}) + \sqrt{\tan (x) - 1}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cot^{2} (2 \sqrt{x}) + \sqrt{\tan (x) - 1}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cot^{2} (2 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [\cot^{2} (2 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\cot^{2} (2 \sqrt{x})]$ .

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\cot^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cot (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cot (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (2 x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cot (2 x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cot (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\cot (2 x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cot (x)$ und $g (x) = 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\cot (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Schritt 2.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Schritt 2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Schritt 2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Schritt 2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Schritt 2.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Schritt 2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Schritt 2.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Schritt 2.12

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Schritt 2.13

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Schritt 2.14

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Schritt 2.15

Forme den Ausdruck um.

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Schritt 2.16

Kombiniere $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ und $\csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{\csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Schritt 2.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{\csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Schritt 2.18

Kombiniere $\frac{\csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$ und $- 2$ .

$\frac{\csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot - 2}{x^{\frac{1}{2}}} \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Schritt 2.19

Kombiniere $\frac{\csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot - 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ und $\cot (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{\csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot - 2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Schritt 2.20

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $\csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{- 2 \cdot \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Schritt 2.21

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\tan (x) - 1}$ als ${(\tan (x) - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [{(\tan (x) - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \tan (x) - 1$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $\tan (x) - 1$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich $n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $\tan (x) - 1$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\tan (x) - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.4

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\sec^{2} (x) + 0)$

Schritt 3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (\sec^{2} (x) + 0)$

Schritt 3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (\sec^{2} (x) + 0)$

Schritt 3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (\sec^{2} (x) + 0)$

Schritt 3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (\sec^{2} (x) + 0)$

Schritt 3.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{\frac{- 1}{2}} (\sec^{2} (x) + 0)$

Schritt 3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{- \frac{1}{2}} (\sec^{2} (x) + 0)$

Schritt 3.11

Addiere $\sec^{2} (x)$ und $0$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{- \frac{1}{2}} \sec^{2} (x)$

Schritt 3.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(\tan (x) - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(\tan (x) - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \sec^{2} (x)$

Schritt 3.13

Kombiniere $\frac{{(\tan (x) - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $\sec^{2} (x)$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(\tan (x) - 1)}^{- \frac{1}{2}} \sec^{2} (x)}{2}$

Schritt 3.14

Bringe ${(\tan (x) - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sec^{2} (x)}{2 {(\tan (x) - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4

Stelle die Terme um.

$\frac{\sec^{2} (x)}{2 {(\tan (x) - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$