Analysis Beispiele

$g (x) = \frac{1}{2} \cdot {(e)}^{\frac{1}{2} x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot e^{\frac{x}{2}}]$

Schritt 1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

Schritt 1.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $e^{\frac{x}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 3.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{4} \cdot 1$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{4}$ mit $1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{4}$