Analysis Beispiele

$g (x) = \frac{9 x - 5}{7 x + 1} + x^{3}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{9 x - 5}{7 x + 1} + x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{9 x - 5}{7 x + 1}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9 x - 5}{7 x + 1}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{9 x - 5}{7 x + 1}]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 9 x - 5$ und $g (x) = 7 x + 1$ .

$\frac{(7 x + 1) \frac{d}{d x} [9 x - 5] - (9 x - 5) \frac{d}{d x} [7 x + 1]}{{(7 x + 1)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(7 x + 1) (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (9 x - 5) \frac{d}{d x} [7 x + 1]}{{(7 x + 1)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(7 x + 1) (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (9 x - 5) \frac{d}{d x} [7 x + 1]}{{(7 x + 1)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(7 x + 1) (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (9 x - 5) \frac{d}{d x} [7 x + 1]}{{(7 x + 1)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(7 x + 1) (9 \cdot 1 + 0) - (9 x - 5) \frac{d}{d x} [7 x + 1]}{{(7 x + 1)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(7 x + 1) (9 \cdot 1 + 0) - (9 x - 5) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(7 x + 1)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.7

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(7 x + 1) (9 \cdot 1 + 0) - (9 x - 5) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(7 x + 1)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(7 x + 1) (9 \cdot 1 + 0) - (9 x - 5) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(7 x + 1)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(7 x + 1) (9 \cdot 1 + 0) - (9 x - 5) (7 \cdot 1 + 0)}{{(7 x + 1)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$\frac{(7 x + 1) (9 + 0) - (9 x - 5) (7 \cdot 1 + 0)}{{(7 x + 1)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.11

Addiere $9$ und $0$ .

$\frac{(7 x + 1) \cdot 9 - (9 x - 5) (7 \cdot 1 + 0)}{{(7 x + 1)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.12

Bringe $9$ auf die linke Seite von $7 x + 1$ .

$\frac{9 \cdot (7 x + 1) - (9 x - 5) (7 \cdot 1 + 0)}{{(7 x + 1)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.13

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$\frac{9 (7 x + 1) - (9 x - 5) (7 + 0)}{{(7 x + 1)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.14

Addiere $7$ und $0$ .

$\frac{9 (7 x + 1) - (9 x - 5) \cdot 7}{{(7 x + 1)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.15

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\frac{9 (7 x + 1) - 7 (9 x - 5)}{{(7 x + 1)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{9 (7 x + 1) - 7 (9 x - 5)}{{(7 x + 1)}^{2}} + 3 x^{2}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 (7 x) + 9 \cdot 1 - 7 (9 x - 5)}{{(7 x + 1)}^{2}} + 3 x^{2}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 (7 x) + 9 \cdot 1 - 7 (9 x) - 7 \cdot - 5}{{(7 x + 1)}^{2}} + 3 x^{2}$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $7$ mit $9$ .

$\frac{63 x + 9 \cdot 1 - 7 (9 x) - 7 \cdot - 5}{{(7 x + 1)}^{2}} + 3 x^{2}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$\frac{63 x + 9 - 7 (9 x) - 7 \cdot - 5}{{(7 x + 1)}^{2}} + 3 x^{2}$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 7$ .

$\frac{63 x + 9 - 63 x - 7 \cdot - 5}{{(7 x + 1)}^{2}} + 3 x^{2}$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 5$ .

$\frac{63 x + 9 - 63 x + 35}{{(7 x + 1)}^{2}} + 3 x^{2}$

Schritt 4.3.5

Subtrahiere $63 x$ von $63 x$ .

$\frac{0 + 9 + 35}{{(7 x + 1)}^{2}} + 3 x^{2}$

Schritt 4.3.6

Addiere $0$ und $9$ .

$\frac{9 + 35}{{(7 x + 1)}^{2}} + 3 x^{2}$

Schritt 4.3.7

Addiere $9$ und $35$ .

$\frac{44}{{(7 x + 1)}^{2}} + 3 x^{2}$

Schritt 4.4

Stelle die Terme um.

$3 x^{2} + \frac{44}{{(7 x + 1)}^{2}}$