Analysis Beispiele

$g (x) = (3 x^{2} + 3 x - 3) e x$

Schritt 1

Da $e$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $(3 x^{2} + 3 x - 3) e x$ nach $x$ gleich $e \frac{d}{d x} [(3 x^{2} + 3 x - 3) x]$ .

$e \frac{d}{d x} [(3 x^{2} + 3 x - 3) x]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 3 x^{2} + 3 x - 3$ und $g (x) = x$ .

$e ((3 x^{2} + 3 x - 3) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 3 x - 3])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e ((3 x^{2} + 3 x - 3) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 3 x - 3])$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $3 x^{2} + 3 x - 3$ mit $1$ .

$e (3 x^{2} + 3 x - 3 + x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 3 x - 3])$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 3 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$e (3 x^{2} + 3 x - 3 + x (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Schritt 3.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e (3 x^{2} + 3 x - 3 + x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e (3 x^{2} + 3 x - 3 + x (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$e (3 x^{2} + 3 x - 3 + x (6 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Schritt 3.7

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e (3 x^{2} + 3 x - 3 + x (6 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e (3 x^{2} + 3 x - 3 + x (6 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$e (3 x^{2} + 3 x - 3 + x (6 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Schritt 3.10

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e (3 x^{2} + 3 x - 3 + x (6 x + 3 + 0))$

Schritt 3.11

Addiere $6 x + 3$ und $0$ .

$e (3 x^{2} + 3 x - 3 + x (6 x + 3))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e (3 x^{2} + 3 x - 3 + x (6 x) + x \cdot 3)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e (3 x^{2}) + e (3 x) + e \cdot - 3 + e (x (6 x)) + e (x \cdot 3)$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e$ .

$3 \cdot e x^{2} + e (3 x) + e \cdot - 3 + e (x (6 x)) + e (x \cdot 3)$

Schritt 4.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e$ .

$3 e x^{2} + 3 \cdot e x + e \cdot - 3 + e (x (6 x)) + e (x \cdot 3)$

Schritt 4.3.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $e$ .

$3 e x^{2} + 3 e x - 3 \cdot e + e (x (6 x)) + e (x \cdot 3)$

Schritt 4.3.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 e x^{2} + 3 e x - 3 e + e (6 (x^{1} x)) + e (x \cdot 3)$

Schritt 4.3.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 e x^{2} + 3 e x - 3 e + e (6 (x^{1} x^{1})) + e (x \cdot 3)$

Schritt 4.3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 e x^{2} + 3 e x - 3 e + e (6 x^{1 + 1}) + e (x \cdot 3)$

Schritt 4.3.7

Addiere $1$ und $1$ .

$3 e x^{2} + 3 e x - 3 e + e (6 x^{2}) + e (x \cdot 3)$

Schritt 4.3.8

Bringe $6$ auf die linke Seite von $e$ .

$3 e x^{2} + 3 e x - 3 e + 6 \cdot e x^{2} + e (x \cdot 3)$

Schritt 4.3.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 e x^{2} + 3 e x - 3 e + 6 e x^{2} + e (3 \cdot x)$

Schritt 4.3.10

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e$ .

$3 e x^{2} + 3 e x - 3 e + 6 e x^{2} + 3 \cdot e x$

Schritt 4.3.11

Addiere $3 e x^{2}$ und $6 e x^{2}$ .

$9 e x^{2} + 3 e x - 3 e + 3 e x$

Schritt 4.3.12

Addiere $3 e x$ und $3 e x$ .

$9 e x^{2} + 6 e x - 3 e$