Analysis Beispiele

$g (v) = e^{v} \sin (v) - 7 v \csc (v)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{v} \sin (v) - 7 v \csc (v)$ nach $v$ $\frac{d}{d v} [e^{v} \sin (v)] + \frac{d}{d v} [- 7 v \csc (v)]$ .

$\frac{d}{d v} [e^{v} \sin (v)] + \frac{d}{d v} [- 7 v \csc (v)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d v} [e^{v} \sin (v)]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ gleich $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ ist mit $f (v) = e^{v}$ und $g (v) = \sin (v)$ .

$e^{v} \frac{d}{d v} [\sin (v)] + \sin (v) \frac{d}{d v} [e^{v}] + \frac{d}{d v} [- 7 v \csc (v)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (v)$ nach $v$ ist $\cos (v)$ .

$e^{v} \cos (v) + \sin (v) \frac{d}{d v} [e^{v}] + \frac{d}{d v} [- 7 v \csc (v)]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [a^{v}]$ gleich $a^{v} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{v} \cos (v) + \sin (v) e^{v} + \frac{d}{d v} [- 7 v \csc (v)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d v} [- 7 v \csc (v)]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $- 7 v \csc (v)$ nach $v$ gleich $- 7 \frac{d}{d v} [v \csc (v)]$ .

$e^{v} \cos (v) + \sin (v) e^{v} - 7 \frac{d}{d v} [v \csc (v)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ gleich $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ ist mit $f (v) = v$ und $g (v) = \csc (v)$ .

$e^{v} \cos (v) + \sin (v) e^{v} - 7 (v \frac{d}{d v} [\csc (v)] + \csc (v) \frac{d}{d v} [v])$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\csc (v)$ nach $v$ ist $- \csc (v) \cot (v)$ .

$e^{v} \cos (v) + \sin (v) e^{v} - 7 (v (- \csc (v) \cot (v)) + \csc (v) \frac{d}{d v} [v])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ gleich $n v^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{v} \cos (v) + \sin (v) e^{v} - 7 (v (- \csc (v) \cot (v)) + \csc (v) \cdot 1)$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\csc (v)$ mit $1$ .

$e^{v} \cos (v) + \sin (v) e^{v} - 7 (v (- \csc (v) \cot (v)) + \csc (v))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{v} \cos (v) + \sin (v) e^{v} - 7 (v (- \csc (v) \cot (v))) - 7 \csc (v)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$e^{v} \cos (v) + \sin (v) e^{v} + 7 v (\csc (v) \cot (v)) - 7 \csc (v)$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + 7 v \cot (v) \csc (v) - 7 \csc (v)$

Schritt 4.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1

Schreibe $\cot (v)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + 7 v \frac{\cos (v)}{\sin (v)} \csc (v) - 7 \csc (v)$

Schritt 4.4.2

Multipliziere $7 v \frac{\cos (v)}{\sin (v)}$ .

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Schritt 4.4.2.1

Kombiniere $7$ und $\frac{\cos (v)}{\sin (v)}$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + v \frac{7 \cos (v)}{\sin (v)} \csc (v) - 7 \csc (v)$

Schritt 4.4.2.2

Kombiniere $v$ und $\frac{7 \cos (v)}{\sin (v)}$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{v (7 \cos (v))}{\sin (v)} \csc (v) - 7 \csc (v)$

Schritt 4.4.3

Bringe $7$ auf die linke Seite von $v$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 \cdot v \cos (v)}{\sin (v)} \csc (v) - 7 \csc (v)$

Schritt 4.4.4

Schreibe $\csc (v)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cos (v)}{\sin (v)} \cdot \frac{1}{\sin (v)} - 7 \csc (v)$

Schritt 4.4.5

Multipliziere $\frac{7 v \cos (v)}{\sin (v)} \cdot \frac{1}{\sin (v)}$ .

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Schritt 4.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{7 v \cos (v)}{\sin (v)}$ mit $\frac{1}{\sin (v)}$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cos (v)}{\sin (v) \sin (v)} - 7 \csc (v)$

Schritt 4.4.5.2

Potenziere $\sin (v)$ mit $1$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cos (v)}{\sin^{1} (v) \sin (v)} - 7 \csc (v)$

Schritt 4.4.5.3

Potenziere $\sin (v)$ mit $1$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cos (v)}{\sin^{1} (v) \sin^{1} (v)} - 7 \csc (v)$

Schritt 4.4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cos (v)}{{\sin (v)}^{1 + 1}} - 7 \csc (v)$

Schritt 4.4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cos (v)}{\sin^{2} (v)} - 7 \csc (v)$

Schritt 4.4.6

Schreibe $\csc (v)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cos (v)}{\sin^{2} (v)} - 7 \frac{1}{\sin (v)}$

Schritt 4.4.7

Kombiniere $- 7$ und $\frac{1}{\sin (v)}$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cos (v)}{\sin^{2} (v)} + \frac{- 7}{\sin (v)}$

Schritt 4.4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cos (v)}{\sin^{2} (v)} - \frac{7}{\sin (v)}$

Schritt 4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $\sin (v)$ aus $\sin^{2} (v)$ heraus.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cos (v)}{\sin (v) \sin (v)} - \frac{7}{\sin (v)}$

Schritt 4.5.2

Separiere Brüche.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v}{\sin (v)} \cdot \frac{\cos (v)}{\sin (v)} - \frac{7}{\sin (v)}$

Schritt 4.5.3

Wandle von $\frac{\cos (v)}{\sin (v)}$ nach $\cot (v)$ um.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v}{\sin (v)} \cot (v) - \frac{7}{\sin (v)}$

Schritt 4.5.4

Kombiniere $\frac{7 v}{\sin (v)}$ und $\cot (v)$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cot (v)}{\sin (v)} - \frac{7}{\sin (v)}$

Schritt 4.5.5

Separiere Brüche.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v}{1} \cdot \frac{\cot (v)}{\sin (v)} - \frac{7}{\sin (v)}$

Schritt 4.5.6

Schreibe $\cot (v)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v}{1} \cdot \frac{\frac{\cos (v)}{\sin (v)}}{\sin (v)} - \frac{7}{\sin (v)}$

Schritt 4.5.7

Schreibe $\frac{\frac{\cos (v)}{\sin (v)}}{\sin (v)}$ als ein Produkt um.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v}{1} (\frac{\cos (v)}{\sin (v)} \cdot \frac{1}{\sin (v)}) - \frac{7}{\sin (v)}$

Schritt 4.5.8

Vereinfache.

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Schritt 4.5.8.1

Wandle von $\frac{\cos (v)}{\sin (v)}$ nach $\cot (v)$ um.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v}{1} (\cot (v) \frac{1}{\sin (v)}) - \frac{7}{\sin (v)}$

Schritt 4.5.8.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (v)}$ nach $\csc (v)$ um.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v}{1} (\cot (v) \csc (v)) - \frac{7}{\sin (v)}$

Schritt 4.5.9

Dividiere $7 v$ durch $1$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + 7 v (\cot (v) \csc (v)) - \frac{7}{\sin (v)}$

Schritt 4.5.10

Separiere Brüche.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + 7 v (\cot (v) \csc (v)) - (\frac{7}{1} \cdot \frac{1}{\sin (v)})$

Schritt 4.5.11

Wandle von $\frac{1}{\sin (v)}$ nach $\csc (v)$ um.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + 7 v (\cot (v) \csc (v)) - (\frac{7}{1} \csc (v))$

Schritt 4.5.12

Dividiere $7$ durch $1$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + 7 v (\cot (v) \csc (v)) - (7 \csc (v))$

Schritt 4.5.13

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + 7 v (\cot (v) \csc (v)) - 7 \csc (v)$

Schritt 4.6

Stelle die Faktoren in $e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + 7 v (\cot (v) \csc (v)) - 7 \csc (v)$ um.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + 7 v \cot (v) \csc (v) - 7 \csc (v)$