Analysis Beispiele

$g (u) = \frac{3 u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}$ nach $u$ gleich $3 \frac{d}{d u} [\frac{u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d u} [\frac{u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ gleich $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ ist mit $f (u) = u^{2}$ und $g (u) = {(u^{2} + u)}^{3}$ .

$3 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} \frac{d}{d u} [u^{2}] - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{({(u^{2} + u)}^{3})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(u^{2} + u)}^{3})}^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} \frac{d}{d u} [u^{2}] - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{3 \cdot 2}}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$3 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} \frac{d}{d u} [u^{2}] - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} (2 u) - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(u^{2} + u)}^{3}$ .

$3 \frac{2 \cdot {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ ist $f' (g (u)) g' (u)$ , mit $f (u) = u^{3}$ und $g (u) = u^{2} + u$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $u^{2} + u$ .

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $u^{2} + u$ .

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} (3 {(u^{2} + u)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u^{2} + u$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u]$ .

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u]))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + \frac{d}{d u} [u]))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 5.5

Kombiniere $3$ und $\frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$ .

$\frac{3 (2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 {(u^{2} + u)}^{3} u) + 3 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $3 {(u^{2} + u)}^{2} u$ aus $3 \cdot 2 {(u^{2} + u)}^{3} u + 3 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))$ heraus.

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Schritt 6.2.1.1

Faktorisiere $3 {(u^{2} + u)}^{2} u$ aus $3 \cdot 2 {(u^{2} + u)}^{3} u$ heraus.

$\frac{3 {(u^{2} + u)}^{2} u (2 (u + 1) u) + 3 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6.2.1.2

Faktorisiere $3 {(u^{2} + u)}^{2} u$ aus $3 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))$ heraus.

$\frac{3 {(u^{2} + u)}^{2} u (2 (u + 1) u) + 3 {(u^{2} + u)}^{2} u (- 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6.2.1.3

Faktorisiere $3 {(u^{2} + u)}^{2} u$ aus $3 {(u^{2} + u)}^{2} u (2 (u + 1) u) + 3 {(u^{2} + u)}^{2} u (- 3 u (2 u + 1))$ heraus.

$\frac{3 {(u^{2} + u)}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $u$ aus $u^{2} + u$ heraus.

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{2}$ heraus.

$\frac{3 {(u \cdot u + u)}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6.2.2.2

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\frac{3 {(u \cdot u + u^{1})}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6.2.2.3

Faktorisiere $u$ aus $u^{1}$ heraus.

$\frac{3 {(u \cdot u + u \cdot 1)}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6.2.2.4

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot u + u \cdot 1$ heraus.

$\frac{3 {(u (u + 1))}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6.2.3

Wende die Produktregel auf $u (u + 1)$ an.

$\frac{3 u^{2} {(u + 1)}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6.2.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 6.2.4.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\frac{3 (u^{1} u^{2}) {(u + 1)}^{2} (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6.2.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 u^{1 + 2} {(u + 1)}^{2} (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6.2.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} ((2 u + 2 \cdot 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} ((2 u + 2) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6.2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u \cdot u + 2 u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6.2.5.4

Multipliziere $u$ mit $u$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.5.4.1

Bewege $u$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 (u \cdot u) + 2 u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6.2.5.4.2

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6.2.5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 u (2 u) - 3 u \cdot 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6.2.5.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 \cdot 2 u \cdot u - 3 u \cdot 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6.2.5.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 \cdot 2 u \cdot u - 3 u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6.2.5.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.5.8.1

Multipliziere $u$ mit $u$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.5.8.1.1

Bewege $u$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 \cdot 2 (u \cdot u) - 3 u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6.2.5.8.1.2

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 \cdot 2 u^{2} - 3 u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6.2.5.8.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 6 u^{2} - 3 u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6.2.6

Subtrahiere $6 u^{2}$ von $2 u^{2}$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (- 4 u^{2} + 2 u - 3 u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6.2.7

Subtrahiere $3 u$ von $2 u$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (- 4 u^{2} - u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6.2.8

Faktorisiere $u$ aus $- 4 u^{2} - u$ heraus.

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Schritt 6.2.8.1

Faktorisiere $u$ aus $- 4 u^{2}$ heraus.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (u (- 4 u) - u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6.2.8.2

Faktorisiere $u$ aus $- u$ heraus.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (u (- 4 u) + u \cdot - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6.2.8.3

Faktorisiere $u$ aus $u (- 4 u) + u \cdot - 1$ heraus.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (u (- 4 u - 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} u (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6.2.9

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 6.2.9.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\frac{3 (u^{1} u^{3}) {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6.2.9.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 u^{1 + 3} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6.2.9.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{2} + u$ heraus.

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Schritt 6.3.1.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{2}$ heraus.

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u \cdot u + u)}^{6}}$

Schritt 6.3.1.2

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u \cdot u + u^{1})}^{6}}$

Schritt 6.3.1.3

Faktorisiere $u$ aus $u^{1}$ heraus.

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u \cdot u + u \cdot 1)}^{6}}$

Schritt 6.3.1.4

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot u + u \cdot 1$ heraus.

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u (u + 1))}^{6}}$

Schritt 6.3.2

Wende die Produktregel auf $u (u + 1)$ an.

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{u^{6} {(u + 1)}^{6}}$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $u^{4}$ und $u^{6}$ .

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $u^{4}$ aus $3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)$ heraus.

$\frac{u^{4} (3 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1))}{u^{6} {(u + 1)}^{6}}$

Schritt 6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.2.1

Faktorisiere $u^{4}$ aus $u^{6} {(u + 1)}^{6}$ heraus.

$\frac{u^{4} (3 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1))}{u^{4} (u^{2} {(u + 1)}^{6})}$

Schritt 6.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{u^{4} (3 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1))}{u^{4} (u^{2} {(u + 1)}^{6})}$

Schritt 6.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{6}}$

Schritt 6.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(u + 1)}^{2}$ und ${(u + 1)}^{6}$ .

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere ${(u + 1)}^{2}$ aus $3 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)$ heraus.

$\frac{{(u + 1)}^{2} (3 (- 4 u - 1))}{u^{2} {(u + 1)}^{6}}$

Schritt 6.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.5.2.1

Faktorisiere ${(u + 1)}^{2}$ aus $u^{2} {(u + 1)}^{6}$ heraus.

$\frac{{(u + 1)}^{2} (3 (- 4 u - 1))}{{(u + 1)}^{2} (u^{2} {(u + 1)}^{4})}$

Schritt 6.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(u + 1)}^{2} (3 (- 4 u - 1))}{{(u + 1)}^{2} (u^{2} {(u + 1)}^{4})}$

Schritt 6.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (- 4 u - 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

Schritt 6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 u$ heraus.

$\frac{3 (- (4 u) - 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

Schritt 6.7

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{3 (- (4 u) - 1 (1))}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

Schritt 6.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 u) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{3 (- (4 u + 1))}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

Schritt 6.9

Schreibe $- (4 u + 1)$ als $- 1 (4 u + 1)$ um.

$\frac{3 (- 1 (4 u + 1))}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

Schritt 6.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 (4 u + 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$