Analysis Beispiele

$g (u) = \frac{e^{a u}}{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [\frac{f (a)}{g (a)}]$ gleich $\frac{g (a) \frac{d}{d a} [f (a)] - f (a) \frac{d}{d a} [g (a)]}{{g (a)}^{2}}$ ist mit $f (a) = e^{a u}$ und $g (a) = a^{2} + b^{2}$ .

$\frac{(a^{2} + b^{2}) \frac{d}{d a} [e^{a u}] - e^{a u} \frac{d}{d a} [a^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ ist $f' (g (a)) g' (a)$ , mit $f (a) = e^{a}$ und $g (a) = a u$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $a u$ .

$\frac{(a^{2} + b^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d a} [a u]) - e^{a u} \frac{d}{d a} [a^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{(a^{2} + b^{2}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d a} [a u]) - e^{a u} \frac{d}{d a} [a^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $a u$ .

$\frac{(a^{2} + b^{2}) (e^{a u} \frac{d}{d a} [a u]) - e^{a u} \frac{d}{d a} [a^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $u$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $a u$ nach $a$ gleich $u \frac{d}{d a} [a]$ .

$\frac{(a^{2} + b^{2}) e^{a u} (u \frac{d}{d a} [a]) - e^{a u} \frac{d}{d a} [a^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ gleich $n a^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(a^{2} + b^{2}) e^{a u} (u \cdot 1) - e^{a u} \frac{d}{d a} [a^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$\frac{(a^{2} + b^{2}) e^{a u} u - e^{a u} \frac{d}{d a} [a^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a^{2} + b^{2}$ nach $a$ $\frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [b^{2}]$ .

$\frac{(a^{2} + b^{2}) e^{a u} u - e^{a u} (\frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [b^{2}])}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ gleich $n a^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(a^{2} + b^{2}) e^{a u} u - e^{a u} (2 a + \frac{d}{d a} [b^{2}])}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 3.6

Da $b^{2}$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $b^{2}$ bezüglich $a$ gleich $0$ .

$\frac{(a^{2} + b^{2}) e^{a u} u - e^{a u} (2 a + 0)}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.1

Addiere $2 a$ und $0$ .

$\frac{(a^{2} + b^{2}) e^{a u} u - e^{a u} (2 a)}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(a^{2} + b^{2}) e^{a u} u - 2 e^{a u} a}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(a^{2} e^{a u} + b^{2} e^{a u}) u - 2 e^{a u} a}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} e^{a u} u + b^{2} e^{a u} u - 2 e^{a u} a}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren in $a^{2} e^{a u} u + b^{2} e^{a u} u - 2 e^{a u} a$ um.

$\frac{a^{2} u e^{a u} + b^{2} u e^{a u} - 2 a e^{a u}}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{e^{a u} a^{2} u + e^{a u} b^{2} u - 2 e^{a u} a}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}$