Analysis Beispiele

$g (u) = 2 e^{h} (5 h^{2} + 3 h)$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{h} (5 h^{2} + 3 h)$ nach $h$ gleich $2 \frac{d}{d h} [e^{h} (5 h^{2} + 3 h)]$ .

$2 \frac{d}{d h} [e^{h} (5 h^{2} + 3 h)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ gleich $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ ist mit $f (h) = e^{h}$ und $g (h) = 5 h^{2} + 3 h$ .

$2 (e^{h} \frac{d}{d h} [5 h^{2} + 3 h] + (5 h^{2} + 3 h) \frac{d}{d h} [e^{h}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 h^{2} + 3 h$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [5 h^{2}] + \frac{d}{d h} [3 h]$ .

$2 (e^{h} (\frac{d}{d h} [5 h^{2}] + \frac{d}{d h} [3 h]) + (5 h^{2} + 3 h) \frac{d}{d h} [e^{h}])$

Schritt 3.2

Da $5$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $5 h^{2}$ nach $h$ gleich $5 \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$2 (e^{h} (5 \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [3 h]) + (5 h^{2} + 3 h) \frac{d}{d h} [e^{h}])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (e^{h} (5 (2 h) + \frac{d}{d h} [3 h]) + (5 h^{2} + 3 h) \frac{d}{d h} [e^{h}])$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$2 (e^{h} (10 h + \frac{d}{d h} [3 h]) + (5 h^{2} + 3 h) \frac{d}{d h} [e^{h}])$

Schritt 3.5

Da $3$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $3 h$ nach $h$ gleich $3 \frac{d}{d h} [h]$ .

$2 (e^{h} (10 h + 3 \frac{d}{d h} [h]) + (5 h^{2} + 3 h) \frac{d}{d h} [e^{h}])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (e^{h} (10 h + 3 \cdot 1) + (5 h^{2} + 3 h) \frac{d}{d h} [e^{h}])$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$2 (e^{h} (10 h + 3) + (5 h^{2} + 3 h) \frac{d}{d h} [e^{h}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [a^{h}]$ gleich $a^{h} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 (e^{h} (10 h + 3) + (5 h^{2} + 3 h) e^{h})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (e^{h} (10 h) + e^{h} \cdot 3 + (5 h^{2} + 3 h) e^{h})$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (e^{h} (10 h) + e^{h} \cdot 3 + 5 h^{2} e^{h} + 3 h e^{h})$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (e^{h} (10 h)) + 2 (e^{h} \cdot 3) + 2 (5 h^{2} e^{h}) + 2 (3 h e^{h})$

Schritt 5.4

Vereine die Terme

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$20 (e^{h} (h)) + 2 (e^{h} \cdot 3) + 2 (5 h^{2} e^{h}) + 2 (3 h e^{h})$

Schritt 5.4.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{h}$ .

$20 e^{h} h + 2 (3 \cdot e^{h}) + 2 (5 h^{2} e^{h}) + 2 (3 h e^{h})$

Schritt 5.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$20 e^{h} h + 6 e^{h} + 2 (5 h^{2} e^{h}) + 2 (3 h e^{h})$

Schritt 5.4.4

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$20 e^{h} h + 6 e^{h} + 10 (h^{2} e^{h}) + 2 (3 h e^{h})$

Schritt 5.4.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$20 e^{h} h + 6 e^{h} + 10 h^{2} e^{h} + 6 (h e^{h})$

Schritt 5.4.6

Addiere $20 e^{h} h$ und $6 h e^{h}$ .

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Schritt 5.4.6.1

Bewege $e^{h}$ .

$20 h e^{h} + 6 h e^{h} + 6 e^{h} + 10 h^{2} e^{h}$

Schritt 5.4.6.2

Addiere $20 h e^{h}$ und $6 h e^{h}$ .

$26 h e^{h} + 6 e^{h} + 10 h^{2} e^{h}$

Schritt 5.5

Stelle die Terme um.

$26 e^{h} h + 10 e^{h} h^{2} + 6 e^{h}$

Schritt 5.6

Stelle die Faktoren in $26 e^{h} h + 10 e^{h} h^{2} + 6 e^{h}$ um.

$26 h e^{h} + 10 h^{2} e^{h} + 6 e^{h}$