Analysis Beispiele

$g (t) = \frac{1 + t + t^{2}}{t - t^{3}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = 1 + t + t^{2}$ und $g (t) = t - t^{3}$ .

$\frac{(t - t^{3}) \frac{d}{d t} [1 + t + t^{2}] - (1 + t + t^{2}) \frac{d}{d t} [t - t^{3}]}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + t + t^{2}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{(t - t^{3}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [t^{2}]) - (1 + t + t^{2}) \frac{d}{d t} [t - t^{3}]}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{(t - t^{3}) (0 + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [t^{2}]) - (1 + t + t^{2}) \frac{d}{d t} [t - t^{3}]}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(t - t^{3}) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [t^{2}]) - (1 + t + t^{2}) \frac{d}{d t} [t - t^{3}]}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(t - t^{3}) (1 + \frac{d}{d t} [t^{2}]) - (1 + t + t^{2}) \frac{d}{d t} [t - t^{3}]}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(t - t^{3}) (1 + 2 t) - (1 + t + t^{2}) \frac{d}{d t} [t - t^{3}]}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t - t^{3}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]$ .

$\frac{(t - t^{3}) (1 + 2 t) - (1 + t + t^{2}) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}])}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(t - t^{3}) (1 + 2 t) - (1 + t + t^{2}) (1 + \frac{d}{d t} [- t^{3}])}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 2.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t^{3}$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{(t - t^{3}) (1 + 2 t) - (1 + t + t^{2}) (1 - \frac{d}{d t} [t^{3}])}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{(t - t^{3}) (1 + 2 t) - (1 + t + t^{2}) (1 - (3 t^{2}))}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{(t - t^{3}) (1 + 2 t) - (1 + t + t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(t - t^{3}) (1 + 2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere $(t - t^{3}) (1 + 2 t)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t (1 + 2 t) - t^{3} (1 + 2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t \cdot 1 + t (2 t) - t^{3} (1 + 2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t \cdot 1 + t (2 t) - t^{3} \cdot 1 - t^{3} (2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.2.1

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t + t (2 t) - t^{3} \cdot 1 - t^{3} (2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{t + 2 t \cdot t - t^{3} \cdot 1 - t^{3} (2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.3

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.2.3.1

Bewege $t$ .

$\frac{t + 2 (t \cdot t) - t^{3} \cdot 1 - t^{3} (2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.3.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} \cdot 1 - t^{3} (2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - t^{3} (2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 1 \cdot 2 t^{3} t + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.6

Multipliziere $t^{3}$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.2.6.1

Bewege $t$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 1 \cdot 2 (t \cdot t^{3}) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.6.2

Mutltipliziere $t$ mit $t^{3}$ .

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Schritt 3.2.1.2.6.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 1 \cdot 2 (t^{1} t^{3}) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 1 \cdot 2 t^{1 + 3} + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.6.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 1 \cdot 2 t^{4} + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} + (- 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.4

Multipliziere $(- 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 \cdot 1 - 1 (- 3 t^{2}) - t \cdot 1 - t (- 3 t^{2}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 - 1 (- 3 t^{2}) - t \cdot 1 - t (- 3 t^{2}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t \cdot 1 - t (- 3 t^{2}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t - t (- 3 t^{2}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.5.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t - 1 \cdot - 3 t \cdot t^{2} - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.5.5

Multipliziere $t$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.5.5.1

Bewege $t^{2}$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t - 1 \cdot - 3 (t^{2} t) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.5.5.2

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $t$ .

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Schritt 3.2.1.5.5.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t - 1 \cdot - 3 (t^{2} t^{1}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.5.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t - 1 \cdot - 3 t^{2 + 1} - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.5.5.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t - 1 \cdot - 3 t^{3} - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.5.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t + 3 t^{3} - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.5.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t + 3 t^{3} - t^{2} - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.5.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t + 3 t^{3} - t^{2} - 1 \cdot - 3 t^{2} t^{2}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.5.9

Multipliziere $t^{2}$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.5.9.1

Bewege $t^{2}$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t + 3 t^{3} - t^{2} - 1 \cdot - 3 (t^{2} t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.5.9.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t + 3 t^{3} - t^{2} - 1 \cdot - 3 t^{2 + 2}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.5.9.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t + 3 t^{3} - t^{2} - 1 \cdot - 3 t^{4}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.5.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t + 3 t^{3} - t^{2} + 3 t^{4}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.6

Subtrahiere $t^{2}$ von $3 t^{2}$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 2 t^{2} - t + 3 t^{3} + 3 t^{4}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 2 t^{2} - t + 3 t^{3} + 3 t^{4}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere $t$ von $t$ .

$\frac{2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 2 t^{2} + 0 + 3 t^{3} + 3 t^{4}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 2 t^{2}$ und $0$ .

$\frac{2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 2 t^{2} + 3 t^{3} + 3 t^{4}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Addiere $2 t^{2}$ und $2 t^{2}$ .

$\frac{- t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 4 t^{2} + 3 t^{3} + 3 t^{4}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.4

Addiere $- t^{3}$ und $3 t^{3}$ .

$\frac{2 t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 4 t^{2} + 3 t^{4}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.5

Addiere $- 2 t^{4}$ und $3 t^{4}$ .

$\frac{2 t^{3} + t^{4} - 1 + 4 t^{2}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Schritt 3.3

Stelle die Terme um.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(- t^{3} + t)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $t$ aus $- t^{3} + t$ heraus.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $t$ aus $- t^{3}$ heraus.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (- t^{2}) + t)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (- t^{2}) + t^{1})}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere $t$ aus $t^{1}$ heraus.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (- t^{2}) + t \cdot 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.4

Faktorisiere $t$ aus $t (- t^{2}) + t \cdot 1$ heraus.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (- t^{2} + 1))}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (- t^{2} + 1^{2}))}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Stelle $- t^{2}$ und $1^{2}$ um.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (1^{2} - t^{2}))}^{2}}$

Schritt 3.4.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = t$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (1 + t) (1 - t))}^{2}}$

Schritt 3.4.5

Wende die Produktregel auf $t (1 + t) (1 - t)$ an.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (1 + t))}^{2} {(1 - t)}^{2}}$

Schritt 3.4.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t \cdot 1 + t \cdot t)}^{2} {(1 - t)}^{2}}$

Schritt 3.4.7

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t + t \cdot t)}^{2} {(1 - t)}^{2}}$

Schritt 3.4.8

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t + t^{2})}^{2} {(1 - t)}^{2}}$

Schritt 3.4.9

Schreibe ${(t + t^{2})}^{2}$ als $(t + t^{2}) (t + t^{2})$ um.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t + t^{2}) (t + t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Schritt 3.4.10

Multipliziere $(t + t^{2}) (t + t^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t (t + t^{2}) + t^{2} (t + t^{2})) {(1 - t)}^{2}}$

Schritt 3.4.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t \cdot t + t \cdot t^{2} + t^{2} (t + t^{2})) {(1 - t)}^{2}}$

Schritt 3.4.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t \cdot t + t \cdot t^{2} + t^{2} t + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Schritt 3.4.11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.11.1.1

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t \cdot t^{2} + t^{2} t + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Schritt 3.4.11.1.2

Multipliziere $t$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.11.1.2.1

Mutltipliziere $t$ mit $t^{2}$ .

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Schritt 3.4.11.1.2.1.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{1} t^{2} + t^{2} t + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Schritt 3.4.11.1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{1 + 2} + t^{2} t + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Schritt 3.4.11.1.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{3} + t^{2} t + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Schritt 3.4.11.1.3

Multipliziere $t^{2}$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.11.1.3.1

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $t$ .

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Schritt 3.4.11.1.3.1.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{3} + t^{2} t^{1} + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Schritt 3.4.11.1.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{3} + t^{2 + 1} + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Schritt 3.4.11.1.3.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{3} + t^{3} + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Schritt 3.4.11.1.4

Multipliziere $t^{2}$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.11.1.4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{3} + t^{3} + t^{2 + 2}) {(1 - t)}^{2}}$

Schritt 3.4.11.1.4.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{3} + t^{3} + t^{4}) {(1 - t)}^{2}}$

Schritt 3.4.11.2

Addiere $t^{3}$ und $t^{3}$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + 2 t^{3} + t^{4}) {(1 - t)}^{2}}$

Schritt 3.4.12

Faktorisiere $t^{2}$ aus $t^{2} + 2 t^{3} + t^{4}$ heraus.

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Schritt 3.4.12.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} \cdot 1 + 2 t^{3} + t^{4}) {(1 - t)}^{2}}$

Schritt 3.4.12.2

Faktorisiere $t^{2}$ aus $2 t^{3}$ heraus.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} \cdot 1 + t^{2} (2 t) + t^{4}) {(1 - t)}^{2}}$

Schritt 3.4.12.3

Faktorisiere $t^{2}$ aus $t^{4}$ heraus.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} \cdot 1 + t^{2} (2 t) + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Schritt 3.4.12.4

Faktorisiere $t^{2}$ aus $t^{2} \cdot 1 + t^{2} (2 t)$ heraus.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} \cdot (1 + 2 t) + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Schritt 3.4.12.5

Faktorisiere $t^{2}$ aus $t^{2} \cdot (1 + 2 t) + t^{2} t^{2}$ heraus.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{t^{2} (1 + 2 t + t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Schritt 3.4.13

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.4.13.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{t^{2} (1^{2} + 2 t + t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Schritt 3.4.13.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 t = 2 \cdot 1 \cdot t$

Schritt 3.4.13.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{t^{2} (1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot t + t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Schritt 3.4.13.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = 1$ und $b = t$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{t^{2} {(1 + t)}^{2} {(1 - t)}^{2}}$