Analysis Beispiele

$g (t) = (\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}) - 1$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}) - 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = 1 + \sin (3 t)$ und $g (t) = 3 - 2 t$ .

$\frac{(3 - 2 t) \frac{d}{d t} [1 + \sin (3 t)] - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \sin (3 t)$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]$ .

$\frac{(3 - 2 t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.3

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \sin (t)$ und $g (t) = 3 t$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 t$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [3 t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.4.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (u) \frac{d}{d t} [3 t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $3 t$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.5

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t])) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) (3 \cdot 1)) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - 2 t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- 2 t]$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) (3 \cdot 1)) - (1 + \sin (3 t)) (\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- 2 t])}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.8

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) (3 \cdot 1)) - (1 + \sin (3 t)) (0 + \frac{d}{d t} [- 2 t])}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.9

Da $- 2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 2 t$ nach $t$ gleich $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) (3 \cdot 1)) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2 \frac{d}{d t} [t])}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) (3 \cdot 1)) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2 \cdot 1)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) \cdot 3) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2 \cdot 1)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.12

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (3 t)$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + 3 \cdot \cos (3 t)) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2 \cdot 1)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.13

Addiere $0$ und $3 \cos (3 t)$ .

$\frac{(3 - 2 t) (3 \cos (3 t)) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2 \cdot 1)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.14

Bringe $3$ auf die linke Seite von $3 - 2 t$ .

$\frac{3 \cdot (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2 \cdot 1)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.15

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.16

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$\frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) \cdot - 2}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.17

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 \cdot 3 + 3 (- 2 t)) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 3 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 3 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

Schritt 4.4

Vereine die Terme

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{9 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

Schritt 4.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

Schritt 4.4.4

Addiere $\frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$ und $0$ .

$\frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Schritt 4.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- 6 t \cos (3 t) + 2 + 9 \cos (3 t) + 2 \sin (3 t)}{{(- 2 t + 3)}^{2}}$