Analysis Beispiele

$g (r) = \frac{7 r - 3}{e^{r} + 9}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ gleich $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ ist mit $f (r) = 7 r - 3$ und $g (r) = e^{r} + 9$ .

$\frac{(e^{r} + 9) \frac{d}{d r} [7 r - 3] - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 r - 3$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [- 3]$ .

$\frac{(e^{r} + 9) (\frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [- 3]) - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $7$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $7 r$ nach $r$ gleich $7 \frac{d}{d r} [r]$ .

$\frac{(e^{r} + 9) (7 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- 3]) - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(e^{r} + 9) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- 3]) - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$\frac{(e^{r} + 9) (7 + \frac{d}{d r} [- 3]) - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $r$ gleich $0$ .

$\frac{(e^{r} + 9) (7 + 0) - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $7$ und $0$ .

$\frac{(e^{r} + 9) \cdot 7 - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $e^{r} + 9$ .

$\frac{7 \cdot (e^{r} + 9) - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{r} + 9$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [e^{r}] + \frac{d}{d r} [9]$ .

$\frac{7 (e^{r} + 9) - (7 r - 3) (\frac{d}{d r} [e^{r}] + \frac{d}{d r} [9])}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [a^{r}]$ gleich $a^{r} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{7 (e^{r} + 9) - (7 r - 3) (e^{r} + \frac{d}{d r} [9])}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1

Da $9$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $r$ gleich $0$ .

$\frac{7 (e^{r} + 9) - (7 r - 3) (e^{r} + 0)}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Schritt 4.2

Addiere $e^{r}$ und $0$ .

$\frac{7 (e^{r} + 9) - (7 r - 3) e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 e^{r} + 7 \cdot 9 - (7 r - 3) e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 e^{r} + 7 \cdot 9 + (- (7 r) - - 3) e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 e^{r} + 7 \cdot 9 - (7 r) e^{r} - - 3 e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $9$ .

$\frac{7 e^{r} + 63 - (7 r) e^{r} - - 3 e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.4.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\frac{7 e^{r} + 63 - 7 r e^{r} - - 3 e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{7 e^{r} + 63 - 7 r e^{r} + 3 e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.4.2

Addiere $7 e^{r}$ und $3 e^{r}$ .

$\frac{10 e^{r} + 63 - 7 r e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- 7 e^{r} r + 10 e^{r} + 63}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 7 e^{r} r$ heraus.

$\frac{- (7 e^{r} r) + 10 e^{r} + 63}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $10 e^{r}$ heraus.

$\frac{- (7 e^{r} r) - (- 10 e^{r}) + 63}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (7 e^{r} r) - (- 10 e^{r})$ heraus.

$\frac{- (7 e^{r} r - 10 e^{r}) + 63}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.9

Schreibe $63$ als $- 1 (- 63)$ um.

$\frac{- (7 e^{r} r - 10 e^{r}) - 1 (- 63)}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (7 e^{r} r - 10 e^{r}) - 1 (- 63)$ heraus.

$\frac{- (7 e^{r} r - 10 e^{r} - 63)}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.11

Schreibe $- (7 e^{r} r - 10 e^{r} - 63)$ als $- 1 (7 e^{r} r - 10 e^{r} - 63)$ um.

$\frac{- 1 (7 e^{r} r - 10 e^{r} - 63)}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{7 e^{r} r - 10 e^{r} - 63}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Schritt 5.13

Stelle die Faktoren in $- \frac{7 e^{r} r - 10 e^{r} - 63}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$ um.

$- \frac{7 r e^{r} - 10 e^{r} - 63}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$