Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (3 x - 4 - \sin (x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x - 4 - \sin (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x - 4 - \sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 4 - \sin (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 4 - \sin (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 4 - \sin (x)$ .

$\frac{1}{3 x - 4 - \sin (x)} \frac{d}{d x} [3 x - 4 - \sin (x)]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 4 - \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{1}{3 x - 4 - \sin (x)} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Schritt 2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 x - 4 - \sin (x)} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3 x - 4 - \sin (x)} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{3 x - 4 - \sin (x)} (3 + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Schritt 2.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3 x - 4 - \sin (x)} (3 + 0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Schritt 2.6

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{1}{3 x - 4 - \sin (x)} (3 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Schritt 2.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{3 x - 4 - \sin (x)} (3 - \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3 x - 4 - \sin (x)} (3 - \cos (x))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{3 x - 4 - \sin (x)} (3 - \cos (x))$ um.

$(3 - \cos (x)) \frac{1}{3 x - 4 - \sin (x)}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \frac{1}{3 x - 4 - \sin (x)} - \cos (x) \frac{1}{3 x - 4 - \sin (x)}$

Schritt 4.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3 x - 4 - \sin (x)}$ .

$\frac{3}{3 x - 4 - \sin (x)} - \cos (x) \frac{1}{3 x - 4 - \sin (x)}$

Schritt 4.4

Kombiniere $\frac{1}{3 x - 4 - \sin (x)}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{3}{3 x - 4 - \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{3 x - 4 - \sin (x)}$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 - \cos (x)}{3 x - 4 - \sin (x)}$