Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (30 x + \frac{85 (y^{2})}{569 x^{3.63} x^{6}})$

Schritt 1

Multipliziere $x^{3.63}$ mit $x^{6}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1

Bewege $x^{6}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (30 x + \frac{85 y^{2}}{569 (x^{6} x^{3.63})})]$

Schritt 1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [\ln (30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{6 + 3.63}})]$

Schritt 1.3

Addiere $6$ und $3.63$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}$ .

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Schritt 2.3.1

Bewege $x^{6}$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 (x^{6} x^{3.63})}} \frac{d}{d x} [30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}]$

Schritt 2.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{6 + 3.63}}} \frac{d}{d x} [30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}]$

Schritt 2.3.3

Addiere $6$ und $3.63$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} \frac{d}{d x} [30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [\frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}]$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [\frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}])$

Schritt 3.2

Da $30$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $30 x$ nach $x$ gleich $30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}])$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $30$ mit $1$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 + \frac{d}{d x} [\frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}])$

Schritt 3.5

Da $\frac{85 y^{2}}{569}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}$ nach $x$ gleich $\frac{85 y^{2}}{569} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{9.63}}]$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 + \frac{85 y^{2}}{569} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{9.63}}])$

Schritt 3.6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.6.1

Schreibe $\frac{1}{x^{9.63}}$ als ${(x^{9.63})}^{- 1}$ um.

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 + \frac{85 y^{2}}{569} \frac{d}{d x} [{(x^{9.63})}^{- 1}])$

Schritt 3.6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{9.63})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 + \frac{85 y^{2}}{569} \frac{d}{d x} [x^{9.63 \cdot - 1}])$

Schritt 3.6.2.2

Mutltipliziere $9.63$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 + \frac{85 y^{2}}{569} \frac{d}{d x} [x^{- 9.63}])$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 9.63$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 + \frac{85 y^{2}}{569} (- 9.63 x^{- 10.63}))$

Schritt 3.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.8.1

Kombiniere $- 9.63$ und $\frac{85 y^{2}}{569}$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 + \frac{- 9.63 (85 y^{2})}{569} x^{- 10.63})$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $85$ mit $- 9.63$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 + \frac{- 818.55 y^{2}}{569} x^{- 10.63})$

Schritt 3.8.3

Kombiniere $\frac{- 818.55 y^{2}}{569}$ und $x^{- 10.63}$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 + \frac{- 818.55 y^{2} x^{- 10.63}}{569})$

Schritt 3.8.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.8.4.1

Bringe $x^{- 10.63}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 + \frac{- 818.55 y^{2}}{569 x^{10.63}})$

Schritt 3.8.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 - \frac{818.55 y^{2}}{569 x^{10.63}})$

Schritt 3.8.4.3

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}} (30 - \frac{818.55 y^{2}}{569 x^{10.63}})$ um.

$(30 - \frac{818.55 y^{2}}{569 x^{10.63}}) \frac{1}{30 x + \frac{85 y^{2}}{569 x^{9.63}}}$