Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)]$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (\frac{d}{d x} [5 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

Schritt 2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 \cos (2 x)$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (5 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (5 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (5 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (5 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 5 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

Schritt 4.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 5 \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $- 10$ mit $1$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)])$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \tan (3 x)$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $\tan (3 x)$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + \frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (3 x)])$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich $n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 2 u_{3} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)])$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $\tan (3 x)$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 2 \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)])$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{4}$ durch $3 x$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 2 \tan (3 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\tan (u_{4})] \frac{d}{d x} [3 x]))$

Schritt 6.2

Die Ableitung von $\tan (u_{4})$ nach $u_{4}$ ist $\sec^{2} (u_{4})$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 2 \tan (3 x) (\sec^{2} (u_{4}) \frac{d}{d x} [3 x]))$

Schritt 6.3

Ersetze alle $u_{4}$ durch $3 x$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 2 \tan (3 x) (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]))$

Schritt 7

Differenziere.

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Schritt 7.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 2 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \cdot 1)$

Schritt 7.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x))$

Schritt 7.4.2

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)} (- 10 \sin (2 x) + 6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x))$ um.

$(- 10 \sin (2 x) + 6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)) \frac{1}{5 \cos (2 x) + \tan^{2} (3 x)}$