Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (\cot (x) - \csc (x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \cot (x) - \csc (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cot (x) - \csc (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cot (x) - \csc (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cot (x) - \csc (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\cot (x) - \csc (x)$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} \frac{d}{d x} [\cot (x) - \csc (x)]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cot (x) - \csc (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (\frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \csc (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) - \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 5

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) - (- \csc (x) \cot (x)))$

Schritt 6

Multipliziere.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) + 1 (\csc (x) \cot (x)))$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x))$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x))$ um.

$(- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x)) \frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \csc^{2} (x) \frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} + \csc (x) \cot (x) \frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$

Schritt 7.3

Kombiniere $\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$ und $\csc^{2} (x)$ .

$- \frac{\csc^{2} (x)}{\cot (x) - \csc (x)} + \csc (x) \cot (x) \frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$

Schritt 7.4

Multipliziere $\csc (x) \cot (x) \frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$ .

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Schritt 7.4.1

Kombiniere $\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$ und $\csc (x)$ .

$- \frac{\csc^{2} (x)}{\cot (x) - \csc (x)} + \frac{\csc (x)}{\cot (x) - \csc (x)} \cot (x)$

Schritt 7.4.2

Kombiniere $\frac{\csc (x)}{\cot (x) - \csc (x)}$ und $\cot (x)$ .

$- \frac{\csc^{2} (x)}{\cot (x) - \csc (x)} + \frac{\csc (x) \cot (x)}{\cot (x) - \csc (x)}$

Schritt 7.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x)}{\cot (x) - \csc (x)}$

Schritt 7.6

Faktorisiere $\csc (x)$ aus $- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x)$ heraus.

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Schritt 7.6.1

Faktorisiere $\csc (x)$ aus $- \csc^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cot (x)}{\cot (x) - \csc (x)}$

Schritt 7.6.2

Faktorisiere $\csc (x)$ aus $\csc (x) \cot (x)$ heraus.

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (\cot (x))}{\cot (x) - \csc (x)}$

Schritt 7.6.3

Faktorisiere $\csc (x)$ aus $\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (\cot (x))$ heraus.

$\frac{\csc (x) (- \csc (x) + \cot (x))}{\cot (x) - \csc (x)}$

Schritt 7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- \csc (x)$ heraus.

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x)) + \cot (x))}{\cot (x) - \csc (x)}$

Schritt 7.8

Faktorisiere $- 1$ aus $\cot (x)$ heraus.

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x)) - 1 (- \cot (x)))}{\cot (x) - \csc (x)}$

Schritt 7.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\csc (x)) - 1 (- \cot (x))$ heraus.

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x) - \cot (x)))}{\cot (x) - \csc (x)}$

Schritt 7.10

Schreibe $- (\csc (x) - \cot (x))$ als $- 1 (\csc (x) - \cot (x))$ um.

$\frac{\csc (x) (- 1 (\csc (x) - \cot (x)))}{\cot (x) - \csc (x)}$

Schritt 7.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\csc (x) (\csc (x) - \cot (x))}{\cot (x) - \csc (x)}$