Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (\cos (\sqrt[3]{x + 2}))$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x + 2}$ als ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\ln (\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}))]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$\frac{1}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})} \frac{d}{d x} [\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})]$

Schritt 3

Wandle von $\frac{1}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}$ nach $\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ um.

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{3}}])$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{3}}])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{3}}])$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = x + 2$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $x + 2$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 2]))$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich $n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $x + 2$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

Schritt 6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

Schritt 7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

Schritt 9.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

Schritt 10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} {(x + 2)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

Schritt 10.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(x + 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{{(x + 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

Schritt 10.3

Bringe ${(x + 2)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 2]))$

Schritt 10.4

Kombiniere $\frac{1}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$ und $\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (- \frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 10.5

Kombiniere $\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ und $\frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- \frac{\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 13

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0)$

Schritt 14

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- \frac{\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Schreibe $\sec ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{\frac{1}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})} \sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.2

Kombiniere $\frac{1}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}$ und $\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$- \frac{\frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (\frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{1}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 15.4

Kombinieren.

$- \frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 1}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 15.5

Mutltipliziere $\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ mit $1$ .

$- \frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) (3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 15.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$- \frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 \cdot \cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.7

Separiere Brüche.

$- (\frac{1}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})})$

Schritt 15.8

Wandle von $\frac{\sin ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{\cos ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}$ nach $\tan ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ um.

$- (\frac{1}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}} \tan ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}))$

Schritt 15.9

Kombiniere $\frac{1}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$ und $\tan ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$- \frac{\tan ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}$