Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (\arcsin (\sin (\sec (x))))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \arcsin (\sin (\sec (x)))$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\arcsin (\sin (\sec (x)))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arcsin (\sin (\sec (x)))]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arcsin (\sin (\sec (x)))]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\arcsin (\sin (\sec (x)))$ .

$\frac{1}{\arcsin (\sin (\sec (x)))} \frac{d}{d x} [\arcsin (\sin (\sec (x)))]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arcsin (x)$ und $g (x) = \sin (\sec (x))$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sin (\sec (x))$ .

$\frac{1}{\arcsin (\sin (\sec (x)))} (\frac{d}{d u_{2}} [\arcsin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (\sec (x))])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\arcsin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\arcsin (\sin (\sec (x)))} (\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (\sec (x))])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (\sec (x))$ .

$\frac{1}{\arcsin (\sin (\sec (x)))} (\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))}} \frac{d}{d x} [\sin (\sec (x))])$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))}}$ mit $\frac{1}{\arcsin (\sin (\sec (x)))}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))} \frac{d}{d x} [\sin (\sec (x))]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \sec (x)$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))} (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\sin (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $\cos (u_{3})$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))} (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))} (\cos (\sec (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Schritt 5

Kombiniere $\cos (\sec (x))$ und $\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$ .

$\frac{\cos (\sec (x))}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 6

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\cos (\sec (x))}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))} (\sec (x) \tan (x))$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\sec (x)$ und $\frac{\cos (\sec (x))}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$ .

$\frac{\sec (x) \cos (\sec (x))}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))} \tan (x)$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{\sec (x) \cos (\sec (x))}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$ und $\tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) \cos (\sec (x)) \tan (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} \cos (\sec (x)) \tan (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Schritt 8.1.2

Kombiniere $\frac{1}{\cos (x)}$ und $\cos (\sec (x))$ .

$\frac{\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)} \tan (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Schritt 8.1.3

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Schritt 8.1.4

Multipliziere $\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Schritt 8.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)}$ mit $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Schritt 8.1.4.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Schritt 8.1.4.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Schritt 8.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Schritt 8.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Schritt 8.1.5

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Schritt 8.1.6

Separiere Brüche.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Schritt 8.1.7

Schreibe $\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)}$ als ein Produkt um.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (\sec (x)) \frac{1}{\cos (x)})}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Schritt 8.1.8

Schreibe $\cos (\sec (x))$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{\cos (\sec (x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)})}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Schritt 8.1.9

Vereinfache.

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Schritt 8.1.9.1

Dividiere $\cos (\sec (x))$ durch $1$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (\sec (x)) \frac{1}{\cos (x)})}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Schritt 8.1.9.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (\sec (x)) \sec (x))}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Schritt 8.1.10

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{\tan (x) \cos (\sec (x)) \sec (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Schritt 8.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\cos (\sec (x)) \sec (x) \tan (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$