Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (\ln (\sec (2 x)))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \ln (\sec (2 x))$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\ln (\sec (2 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (\sec (2 x))]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (\sec (2 x))]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\ln (\sec (2 x))$ .

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [\ln (\sec (2 x))]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \sec (2 x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sec (2 x)$ .

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sec (2 x)$ .

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{1}{\sec (2 x)} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Schritt 3

Schreibe $\sec (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{1}{\frac{1}{\cos (2 x)}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Schritt 4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (2 x)}$ zu dividieren.

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (1 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Schritt 5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\cos (2 x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Schritt 5.2

Kombiniere $\cos (2 x)$ und $\frac{1}{\ln (\sec (2 x))}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $2 x$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 6.2

Die Ableitung von $\sec (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 6.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $2 x$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 7

Differenziere.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\sec (2 x)$ und $\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ .

$\frac{\sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 7.2

Kombiniere $\tan (2 x)$ und $\frac{\sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ .

$\frac{\tan (2 x) (\sec (2 x) \cos (2 x))}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 7.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7.4

Kombiniere $2$ und $\frac{\tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ .

$\frac{2 (\tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x))}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} \cdot 1$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $\frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ mit $1$ .

$\frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Schreibe $\tan (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{2 \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Schritt 8.2

Kombiniere $2$ und $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Schritt 8.3

Schreibe $\sec (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Schritt 8.4

Multipliziere $\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$ .

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Schritt 8.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ mit $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Schritt 8.4.2

Potenziere $\cos (2 x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos^{1} (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Schritt 8.4.3

Potenziere $\cos (2 x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Schritt 8.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{{\cos (2 x)}^{1 + 1}} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Schritt 8.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Schritt 8.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (2 x)$ .

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Schritt 8.5.1

Faktorisiere $\cos (2 x)$ aus $\cos^{2} (2 x)$ heraus.

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Schritt 8.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Schritt 8.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\ln (\sec (2 x))}$

Schritt 8.6

Separiere Brüche.

$\frac{\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\ln (\sec (2 x))}$

Schritt 8.7

Wandle von $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ nach $\tan (2 x)$ um.

$\frac{\frac{2}{1} \tan (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Schritt 8.8

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{2 \tan (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$