Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (e^{3 x}) + x \ln (e^{2}) - 10 \ln (e)$

Schritt 1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $2$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x}) + x (2 \ln (e)) - 10 \ln (e)]$

Schritt 2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x}) + x (2 \cdot 1) - 10 \ln (e)]$

Schritt 3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x}) + x \cdot 2 - 10 \ln (e)]$

Schritt 4

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x}) + x \cdot 2 - 10 \cdot 1]$

Schritt 5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\ln (e^{3 x}) + x \cdot 2 - 10 \cdot 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x})] + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x})] + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Schritt 6

Berechne $\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x})]$ .

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Schritt 6.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $3 x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$\frac{d}{d x} [3 x \ln (e)] + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Schritt 6.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x \cdot 1] + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Schritt 6.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Schritt 6.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Schritt 7

Berechne $\frac{d}{d x} [x \cdot 2]$ .

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Schritt 7.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2 \cdot x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Schritt 7.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Schritt 7.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$3 + 2 + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Schritt 8

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$ .

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $1$ .

$3 + 2 + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 8.2

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 + 2 + 0$

Schritt 9

Vereine die Terme

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Schritt 9.1

Addiere $3$ und $2$ .

$5 + 0$

Schritt 9.2

Addiere $5$ und $0$ .

$5$