Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (e^{x^{3}}) + 6 \ln (x - 1)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\ln (e^{x^{3}}) + 6 \ln (x - 1)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\ln (e^{x^{3}})] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{x^{3}})] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\ln (e^{x^{3}})]$ .

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Schritt 2.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x^{3}$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$\frac{d}{d x} [x^{3} \ln (e)] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$

Schritt 2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} \cdot 1] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$ .

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Schritt 3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 \ln (x - 1)$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]$ .

$3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$3 x^{2} + 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{x - 1} (1 + 0))$

Schritt 3.6

Addiere $1$ und $0$ .

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{x - 1} \cdot 1)$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 1}$ mit $1$ .

$3 x^{2} + 6 \frac{1}{x - 1}$

Schritt 3.8

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{x - 1}$ .

$3 x^{2} + \frac{6}{x - 1}$

Schritt 4

Vereine die Terme

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Schritt 4.1

Um $3 x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x^{2} (x - 1)}{x - 1} + \frac{6}{x - 1}$

Schritt 4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x^{2} (x - 1) + 6}{x - 1}$